Matematicas Basica

Unidad 4. Matemáticas básicas

Presentación de la unidad

En la Unidad 4. Matemáticas básicas, se te presentan conceptos fundamentales, como

teoría de conjuntos, aritmética y álgebra. El dominio de estas áreas es indispensable

para iniciar tus estudios en la Universidad Nacional Abierta y a Distancia de México

(UnADM).

En el primer tema, aprenderás los conceptos y las operaciones fundamentales de los

conjuntos, así como también su representación por medio de diagramas de Venn. En el

segundo tema, estudiarás las operaciones fundamentales de los números enteros y sus

propiedades, el teorema fundamental de la aritmética, el máximo común divisor y el

mínimo común múltiplo, asimismo, se presentarán las operaciones fundamentales de

suma, resta, multiplicación y división de números racionales. Finalmente, en el tercer

tema, estudiarás los conceptos básicos del álgebra, el lenguaje algebraico, las

operaciones con expresiones algebraicas, la factorización, las ecuaciones de primer grado

y las ecuaciones cuadráticas.

¡Adelante!

Propósitos

 Identificar la teoría de conjuntos, simbología y

terminología necesaria para comprender el lenguaje

matemático por medio de ejemplos y ejercicios.

 Exponer la aritmética de los números enteros y

números fraccionarios, a través de ejercicios y

aplicaciones.

 Plantear y resolver problemas sencillos de la vida

cotidiana mediante la aplicación del álgebra, donde

se requieran ecuaciones de primero y segundo

grado.

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Competencia específica

Recuperar los conceptos, las operaciones y

las aplicaciones elementales de la teoría de

conjuntos, aritmética y álgebra para

plantear y resolver problemas, a través de

ejercicios.

4.1. Teoría de conjuntos

A lo largo de las distintas ramas de las matemáticas, la teoría de conjuntos desempeña un

papel primordial, debido a que muchas de las identidades y propiedades analizadas en

las matemáticas se obtienen de ciertos conjuntos particulares o algunas clases de objetos

determinados. Estas ramas son formalmente definidas a través de la teoría de conjuntos.

Como consecuencia, muchas preguntas fundamentales acerca de la naturaleza del

estudio de las matemáticas son reducidas a preguntas sobre conjuntos.

La teoría de conjuntos proporciona una parte de la simbología utilizada en las

matemáticas, como la siguiente:

Símbolo Significado

Pertenece

No pertenece

Contenido

No contenido

Contiene

No contiene

Implica

Igual

Diferente

Conjunto vacío

Complemento de A

Unión

Intersección

Diferencia

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4.1.1. Conceptos básicos

Uno de los conceptos más importantes del estudio de las matemáticas son los conjuntos,

ya que todo lo que se estudia es relativo a propiedades de algunos conjuntos en

particular. La palabra conjunto no tiene una definición concreta, sin embargo,

intuitivamente se entiende que un conjunto es una colección o clase de objetos bien

definidos. Dichos objetos toman el nombre de elementos o miembros del conjunto, por

ello, de forma equivalente se dice que un objeto pertenece a un conjunto dado.

Los conjuntos son representados por letras mayúsculas, por ejemplo, y los

elementos, por letras minúsculas , etc. Cuando un elemento pertenece a un

conjunto , se denota por , en caso contrario, si no es elemento de se denota

por . En resumen, dado un conjunto y un elemento se cumple una y sólo una de

las siguientes condiciones: ó .

Existen dos formas de describir los conjuntos:

1. Por extensión: Aquí se presentan todos los elementos de un conjunto entre los

símbolos de llaves , . Cuando los elementos del conjunto son conocidos y son

un número muy grande, se utilizan puntos suspensivos . Por ejemplo, se

tienen los siguientes conjuntos:



 .

 .

 .

2. Por comprensión: Aquí se usan todas las propiedades que describen a los

elementos del conjunto, es decir, si representa un elemento del conjunto y es

la propiedad que describe al conjunto, entonces se escribe el conjunto de la

siguiente forma: | . En palabras, se dice que “el conjunto de

todos los tales que la propiedad en ”. Observa cómo se

presentan los conjuntos del ejemplo anterior:

 | .

 | .

 | .

 |

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Diagramas de Venn

Una herramienta muy útil en la teoría de conjuntos son los llamados diagramas de Venn,

que son representaciones gráficas de conjuntos, con los cuales se pueden visualizar

algunas propiedades de que se presenten en los conjuntos. Usualmente se representa el

conjunto universal como un rectángulo y con regiones dentro de él, se muestran los

distintos conjuntos en cuestión. Por ejemplo, si se desea representar que en un

diagrama de Venn, la siguiente figura es ilustrativa:

Contención de conjuntos

Anteriormente, se explicó la relación de pertenencia que hay entre un elemento y un

conjunto, ahora se estudiará la relación de contención, que se da entre dos conjuntos

dados. Sean y dos conjuntos, se dice que es subconjunto si y solo si todo

elemento de es elemento de y se denota por , en caso contrario . En

símbolos, se tiene que si y solo si dado , lo anterior se lee de la

siguiente manera: dado elemento de implica que es elemento de .

Cuando es común utilizar equivalentemente la palabra contenido, es decir, está

contenido en . Además, se define que incluye o contiene a si y solo si y se

denota por . Si se quiere ver gráficamente que equivalentemente el

diagrama de Venn es la siguiente figura:

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Observa los siguientes ejemplos de contención de conjuntos:

1. Sean y | , claramente ,

ya que toda vocal es una letra del alfabeto.

2. Sean | y | , entonces

, ya que, como se verá más tarde, es múltiplo de .

Una consecuencia inmediata de la definición de contención de conjuntos es el siguiente

resultado:

Lema: Si y entonces .

Igualdad entre conjuntos

En matemáticas es común definir algunas propiedades en términos de una igualdad, por

ejemplo, un número real es positivo si y solo si | |. En teoría de conjuntos se tiene

algo similar, muchas propiedades de conjuntos se presentan en términos de la igualdad

de conjuntos, que se define de la siguiente manera: Se dice que el conjunto es igual al

conjunto si y solo si y tienen los mismos elementos, y se denota por , en caso

contrario . Nótese que si todo elemento de es elemento de implica que y

si todo elemento de es elemento de entonces , por lo tanto, se tiene que

si y solo y . En consecuencia, si se tiene que demostrar una igualdad entre

conjuntos basta demostrar una doble contención. Por ejemplo, dados los conjuntos

y se tiene que , nótese que no importa que los

elemento y se repitan dos veces en el conjunto .

Conjunto universal y conjunto vacío

Ahora toca el turno de definir el conjunto q í “ ” radica

en el hecho de universo de discusión, es decir, el conjunto universal es el conjunto de

todos los objetos que entran en una discusión dada. Por ejemplo, si se habla de

divisibilidad, el conjunto universal es el conjunto de todos los números enteros; si se habla

de derechos humanos, el conjunto universal es el conjunto de todos los seres humanos; y

en geometría plana, el conjunto universal es el plano.

Existe un conjunto distinguido que no tiene elementos, que se llama conjunto vacío, este

se denota por ó y resulta de contradicciones. Por ejemplo, si se desean buscar todos

los números naturales menores que cero, es claro que no existen dichos números.

Matemáticamente el conjunto vacío se define por | . Dado que el conjunto

vacío se define a partir de una contradicción, por cuestiones de lógica de predicados se

tiene que , para cualquier conjunto .

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Actividad 1. Conceptos básicos

Instrucción: Lee con atención cada enunciado y elige la respuesta que consideres

correcta.

1. Dado el conjunto , di cuáles de las siguientes afirmaciones son

falsas o verdaderas:

a. F, V, V y F.

b. F, F, V y V.

c. F, V, F y F.

d. F, F, F y V.

2. Escribe en su forma comprensiva los siguientes conjuntos:

i. consiste de todos los dígitos.

ii. E í í .

a. | í y |

b. | y | í .

c. | í y | í .

d. y |

3. De los siguientes conjuntos, ¿cuáles son vacíos?

i. | q .

ii. | .

iii. | .

iv. | .

v. | .

a. y

b. , y

c. , y

d.

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4. Dados los conjuntos

Define si las siguientes

...