Matematica. Números Naturales

Números Naturales:

Los números naturales están basados en un sistema de numeración de base 10 o decimal y es por eso que al combinar sus 10 símbolos podemos encontrar cualquier número que necesitamos.

El conjunto de los números naturales está formado por:

N= { 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , . . . }

El cero puede considerarse el número que corresponde a la ausencia de los mismos. Dependiendo del área de la ciencia, el conjunto de los números naturales puede presentarse entonces de dos maneras distintas:

• Definición sin el cero:

[pic 1]

• Definición con el cero:

[pic 2]

• Dado lo anterior podemos decir que:

a) El primer elemento de los números naturales es el cero.

b) Si a un número se le suma 1 hallamos el siguiente número natural.

• Representación:

[pic 3]

• Operaciones de los números naturales:

La adición de números naturales cumple las propiedades asociativa, conmutativa y elemento neutro.

1.- Asociativa:

Si a, b, c son números naturales cualquiera se cumple que:

(a + b) + c = a + (b + c)

2.-Conmutativa.

Si a, b son números naturales cualquiera se cumple que:

a + b = b + a

En particular, para los números 7 y 4, se verifica que:

7 + 4 = 4 + 7

Gracias a las propiedades asociativa y conmutativa de la adición se pueden efectuar largas sumas de números naturales sin utilizar paréntesis y sin tener en cuenta el orden.

3.- Elemento neutro

El 0 es el elemento neutro de la suma de enteros porque, cualquiera que sea el número natural a, se cumple que:

a + 0 = a

• Propiedades De La Multiplicación De Números Naturales

La multiplicación de números naturales cumple las propiedades asociativa, conmutativa, elemento neutro y distributivo del producto respecto de la suma.

1.-Asociativa

Si a, b, c son números naturales cualquiera se cumple que:

(a · b) · c = a · (b · c)

2.- Conmutativa

Si a, b son números naturales cualquiera se cumple que:

a · b = b · a

3.-Elemento neutro

El 1 es el elemento neutro de la multiplicación porque, cualquiera que sea el número natural a, se cumple que:

a · 1 = a

4.- Distributiva del producto respecto de la suma

Si a, b, c son números naturales cualquiera se cumple que:

a · (b + c) = a · b + a · c

Números enteros:

Son un conjunto de números que incluye a los números naturales distintos de cero. Los enteros negativos, como −1 o −3, se leen menos uno, menos tres, etc., son menores que todos los enteros positivos (1, 2,...) Y que el cero. Para resaltar la diferencia entre positivos y negativos, a veces también se escribe un signo más delante de los positivos: +1, +5, etc. Cuando no se le escribe signo al número se asume que es positivo. El conjunto de todos los números enteros se representa por la letra ℤ 

Los números enteros negativos son más pequeños que todos los positivos y que el cero. Para entender como están ordenados se utiliza la recta numérica:

                                                                                        Z

[pic 4]

Se ve con esta representación que los números negativos son más pequeños cuanto más a la izquierda, es decir, cuanto mayor es el número tras el signo. A este número se le llama el valor absoluto.

Suma: Para sumar dos números enteros, se determina el signo y el valor absoluto del resultado del siguiente modo:

• Si ambos sumandos tienen el mismo signo: ese es también el signo del resultado, y su valor absoluto es la suma de los valores absolutos de los sumandos.
• Si ambos sumandos tienen distinto signo:

• El signo del resultado es el signo del sumando con mayor valor absoluto.
• El valor absoluto del resultado es la diferencia entre el mayor valor absoluto y el menor valor absoluto, de entre los dos sumandos.

• La suma de números enteros cumple las siguientes propiedades:

Propiedad asociativa. Dados tres números enteros a, b y c, las sumas (a + b) + c y a + (b + c) son iguales.

Propiedad conmutativa. Dados dos números enteros a y b, las sumas a + b y b + a son iguales.

Elemento neutro. Todos los números enteros a quedan inalterados al sumarles 0: a + 0 = a.

Resta: La resta de dos números enteros, minuendo menos sustraendo se realiza sumando el minuendo más el sustraendo cambiado de signo.

Multiplicación: En la multiplicación (o división) de dos números enteros se determinan el valor absoluto y el signo del resultado de la siguiente manera:

El valor absoluto es el producto de los valores absolutos de los factores.

El signo es «+» si los signos de los factores son iguales, y «−» si son distintos.

• Para recordar el signo del resultado, también se utiliza la regla de los signos:

• La suma y multiplicación de números enteros están relacionadas, al igual que los números naturales, por la propiedad distributiva:

Propiedad distributiva. Dados tres números enteros a, b y c, el producto a × (b + c) y la suma de productos(a × b) +  (a × c) son idénticos.

Números Racionales:

Es todo número que puede representarse como el cociente de dos números enteros o, más precisamente, un entero y un natural positivo, es decir, una fracción común [pic 5] con numerador [pic 6] y denominador [pic 7] distinto de cero. El término racional alude a una fracción o parte de un todo. El conjunto de los números racionales se denota por Q o bien[pic 8], en negrita de pizarra) que deriva de cociente. Este conjunto de números incluye a los números enteros ([pic 9]), y es un subconjunto de los números reales ([pic 10]).

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