Matemática Análisis logístico de una epidemia vira

Matemática

Análisis logístico de una epidemia viral

Grupo: 1

Nº de proyecto: 8

Número de palabras:  1851

Lima - Junio 2017

ÍNDICE

Índice…………………………..……………………………………….......2

Conceptos clave …………….………………………...…………..….…….3

1.          Introducción………………....…………………………………….…3

2.         Objetivos del proyecto………………………………....………...…...4

3.         Marco teórico………………………………….……………….……..4

3.1. Proporcionalidad

3.2. Razón de cambio

3.3. Función exponencial

3.4. Modelo logístico

3.5. Integración: Método de fracciones parciales

3.6. Ecuación diferencial

4.         Enunciado del problema………………………………....……………..9

5.         Resolución de las preguntas…………………………………..………..9

5.1.  Pregunta a

5.2. Pregunta b

5.3. Pregunta c

5.4. Pregunta d

5.5. Pregunta e

6.          Conclusiones…………………………………………..….……….13

6.1.        Conclusiones a partir de los datos obtenidos

6.2.        Conclusión en relación a lo aprendido del proyecto

7.          Bibliografía………...…………….…………………..……………16

CONCEPTOS CLAVE

• PATOGÉNESIS: Conjunto de mecanismos por medio de los cuales los virus producen enfermedad en el huésped.

• VIRULENCIA: Capacidad de un virus para generar una enfermedad, esta depende de factores del virus y huésped, por ejemplo:

- Velocidad de multiplicación de los viriones*

- Respuesta inmunológica

- Edad del huésped

- Estado nutricional del huésped

- Ambiente

• TROPISMO: Capacidad del virus para infectar y multiplicarse.

• PANDEMIA: Propagación de una enfermedad a escala continental o         global.

• EPIDEMIA: Dispersión de una enfermedad a escala regional o nacional (país).

INTRODUCCIÓN

Las pandemias han tenido más influencia que los gobiernos en el devenir de nuestra historia y un claro ejemplo de ello es la llamada peste negra o peste bubónica, la más devastadora de la historia de la humanidad, que azotó a la población de Europa y Asia en el siglo xiv, llegando a exterminar a un tercio de la población afectada. Una de las teorías más sólidas sobre el origen de esta peste, explica que el brote fue causado por la bacteria Yersinia pestis, la cual se extendió desde el desierto de Gobi llegando a China y dispersándose desde Asia hasta Europa debido, principalmente, a las picaduras de las pulgas procedentes del roedor Raltus rattus. Este hecho trajo consigo consecuencias devastadoras en el ámbito social, económico y poblacional; y esto es lo que se observa comúnmente en poblaciones al enfrentarse a una pandemia.

En nuestro proyecto buscamos plasmar la propagación de una enfermedad en una región determinada, una epidemia, específicamente en un modelo donde la población es afectada por una enfermedad que ataca principalmente las vías aéreas, con el hecho de que la población no variará con el tiempo.

El motivo de la realización de este trabajo es el poder analizar cómo una epidemia puede propagarse y además conocer sus efectos utilizando algo completamente desligado de la medicina, la matemática, de tal forma que podremos determinar cuándo una epidemia está por comenzar, qué tendencia tomará el desarrollo de la infección con el tiempo, hasta qué punto puede ser detenida y/o controlada y ,sobre todo, poder variar ciertos factores poniéndonos en casos hipotéticos para de esta manera abarcar diversos casos que puedan presentarse en la vida real, con la finalidad de modelar gráficas de enfermedades que puedan presentarse en el futuro y así saber cómo prevenirlas antes de que estas se propaguen causando mayores daños.

OBJETIVO DEL PROYECTO

Interpretar los datos planteados en el problema y relacionarlos utilizando diversos métodos matemático, tales como:

•  Razón de cambio
•  Métodos de integración
•  Planteamientos resolución de ecuaciones diferenciales
•  Optimización
•  Modelos de graficas exponenciales

Todo esto para lograr un modelo gráfico que describa la variación de los individuos infectados y sano en un población constante según varíe el tiempo.

MARCO TEÓRICO

1. PROPORCIONALIDAD

La relación entre magnitudes puede ser directa o inversa:

1. RAZÓN DE CAMBIO

Es la razón geométrica entre la variación de una magnitud y la variación del tiempo:

[pic 7]

Y la razón de cambio instantánea es la velocidad, y es equivalente a la derivada:

[pic 8]

Ejemplo:

La razón de cambio instantánea de la población “P” de una ciudad:

[pic 9]

Si decimos que esta velocidad de cambio de la población es proporcional a la población en ese instante:

[pic 10]

[pic 11]

1. FUNCIÓN EXPONENCIAL

        Se define como:

[pic 12]

  Donde:

   f: tamaño de la población

   t: tiempo

   k: tasa de crecimiento, si es positivo o tasa de decrecimiento, si es negativo.

1. MODELO LOGÍSTICO

Se define como:[pic 21]

[pic 22]

Donde:

P: Tamaño de la población

t: Tiempo

r: tasa de crecimiento

K: capacidad de carga

• Se define como capacidad de carga a la población maximo que pueda tolerar el ambiente, al sobrepasar esta capacidad se puede producir el declive y en el peor de los casos la extinción de toda esa población. Es por ello que este modelo matemático es muy usado sobre todo el la rama de la biologia al analizar poblaciones reales. Esto se debe a que en una población el crecimiento poblacional no es infinito, es finito, por lo que está limitada por la capacidad de carga, ya antes mencionada.

• Para calcular la capacidad de carga se le aplica el límite cuando tiende al infinito, de tal manera que encontraremos una asíntota horizontal en un punto, lo que será nuestra capacidad de carga.

• Otro dato importante sobre este modelo logístico es que al iniciar su gráfica tiene la apariencia de crecer exponencialmente, pero se ve impedido por la capacidad de carga, por lo que se dice que este modelo es una variante de la función de crecimiento exponencial.

1. INTEGRACIÓN, MÉTODO DE FRACCIONES PARCIALES

Para integrar:

[pic 23]

Utilizaremos el método de fracciones parciales:

[pic 24]

Luego:

[pic 25]

Para determinar los coeficientes:

En la integral:

[pic 28]

Entonces:

[pic 29]

1. ECUACIÓN DIFERENCIAL

Por el método de separación de variable:

[pic 30]

Separación de variable:

[pic 31]

[pic 32]

...