Matemáticas. Ejercicios representación gráfica

1r MATEMÀTIQUES SIMULACRE 2 22/11/2021 Matemàtiques

Responeu a CINC de les SIS qüestions següents. En les respostes, expliqueu sempre què voleu fer i per què.

Cada qüestió val 10 punts.

NO podeu utilitzar calculadora ni altres aparells que portin informació emma gatzemada o que puguin transmetre o rebre informació.

Podeu utilitzar les pàgines en blanc ( pàgines 10, 11 i 12 ) per a fer esquemes, esborranys, etc., o per a acabar de respondre a alguna qüestió si necessiteu més espai. En aquest últim cas, cal que ho indiqueu clarament al final de la pàgina de la qüestió corresponent.

Nom i cognoms de l’alumn@

Pàgina 1 de 8

1r MATEMÀTIQUES SIMULACRE 2 22/11/2021 Exercici 1. Trobeu i classifiqueu les possibles discontinuïtats de la funció f(x) = x3 − 19x − 30 x2 − 4x − 5.

[10 punts]

Com que f(x) és una funció racional, sabem que els valors de les possibles discontinuïtats de f(x), s’assoleixen en els valors no pertanyents al domini; per això, el calcularem:

f(x) és una funció racional =⇒ Dom(f(x)) = {x ∈ R | q(x) 6= 0} on q(x) := x2 − 4x − 5 q(x) = 0 ⇐⇒ x2 − 4x − 5 = 0

Resolem ara aquesta equació mitjançant el mètode de Ruffini:

1 -4 -5

-1 -1 5 1 -5 0

5 5

1 0



=⇒ Arrels(q(x)) = {−1, 5} =⇒ Dom(f(x)) = R − {−1, 5}

Els valors x1 := −1 i x2 := 5 són els possibles valors de discontinuïtat de f(x): Condició de continuïtat: Sabem que f(x) és contínua a x0 ∈ R ⇐⇒ limx→x0f(x) = f(x0) ∈ R • Continuïtat a x1 = −1:

x3 − 19x − 30

x2 − 4x − 5=(−1)3 − 19(−1) − 30

(−1−)2 − 4(−1−) − 5=−1 + 19 − 30

x→−1−f(x) = lim

0+=−12

lim

x→−1− 

0+=

= −∞ ∈ {±∞} =⇒ f(x) té una discontinuïtat asimptòtica a x = −1

• Continuïtat a x2 = 5:

x2 − 4x − 5=53 − 19 · 5 − 30

x→5−f(x) = lim

x3 − 19x − 30

52 − 4 · 5 − 5=00indeterminació

lim

x→5− 

Per tal de resoldre aquesta indeterminació, descompondrem el numerador P(x) i el deno minador Q(x) aplicant el mètode de Ruffini:

1 0 -19 -30 5 5 25 30 1 5 6 0

-2 -2 -6

1 3 0

-3 3

1 0



=⇒ Arrels(P(x)) = {−3, −2, 5} =⇒

=⇒ P(x) = (x − 5)(x + 2)(x + 3)

Q(x) = (x + 1)(x − 5) ( ja calculat anteriorment ) Pàgina 2 de 8

1r MATEMÀTIQUES SIMULACRE 2 22/11/2021

x→5−f(x) = lim

...