PENSAMIENTO MATEMÁTICO

APUNTES DE LA ASESORIA DEL MARTES 7 DE JULIO DE 2015. REPASO DEL MODULO 2

Iniciamos por el tema 6. Sobre razonamiento inductivo ó inducción matemática.

Aprenderás cómo se usa el razonamiento inductivo en la ciencia y en las matemáticas.

Usarás el razonamiento inductivo para hacer conjeturas respecto a sucesiones de números y formas.

POR EJEMPLO.- En la clase de física, el grupo de Juan soltó una pelota desde diferentes alturas y midió la altura del primer rebote. Registraron sus resultados en la siguientes tabla.

Haz una conjetura basada en sus hallazgos. Después predice la altura del primer rebote para una caída de 280. Sería 0.75 el resultado pero tomando en cuenta la operación 280/x=0.75…x= 280*0.75 = 210

(partiendo de lo particular a lo general)

Solución.- si divides cada altura del primer rebote entre la correspondiente altura de la caída, obtienes los sig. Resultados:(90/120)=0.75, 74/100=0.74,  122/160=0.76,  30/40=0.75, 152/200=0.76,  59/80= 0.73.  Basándose en los resultados, se podrá determinar  la conjetura   “para esta pelota, calculando el promedio de los resultados que es 4.49/6 = 0.748  aprox. 0.75. La altura del primer rebote siempre será de aprox. 75% de la altura de la caída”.

Por conclusión la altura del primer rebote para una altura de caída de 280 cms sería de aprox. 0.75 o 75%.

OTRO EJEMPLO.-

Para la inducción matemática..

Cuando un maestro le pidió a Gauss sumar del 1 al 100. Al intentar resolverlo se dio cuenta que la suma se obtenía con el ultimo número de la serie multiplicando el siguiente numero dividido entre 2.

Se concluye que para sumar una serie de números enteros consecutivos se da por la formula: n(n+1)/2

Para encontrar el número de saludos que se dan un determinado grupo de personas de usa la formula:

n(n-1)/2

POR EJEMPLO:

Apretón de manos en una fiesta.

Encontrar el número de apretones de mano que se dan en una fiesta con 30 personas.

1 persona   .    0 apreton

2 personas    .               .  1 apreton[pic 1][pic 2][pic 3][pic 4][pic 5][pic 6][pic 7][pic 8]

3 personas            3 apretones[pic 9][pic 10][pic 11]

4 personas       6 apretones[pic 12][pic 13][pic 14][pic 15][pic 16]

5 personas                                                       10 apretones[pic 17][pic 18][pic 19][pic 20][pic 21]

Usando la formula: n(n-1)/2 se tiene que 30(30-1)/2 = 30(29)/2=  870/2= 435 saludos

EJERCICIO.- RESOLVER

En una colonia hay 50 postes de luz. Si entre cada par de postes hay un cable que los une (se entiende que no estan en forma lineal), ¿De cuantas maneras pueden interconectarse entre todos los postes?

Sol. Si vemos que se están “saludando” entre poste y poste, debemos usar la fórmula n(n-1)/2 =

50(50-1)/2= 50*49/2=  25*49 = 1225 maneras de interconectarse  ó (“saludarse”)

TEMA. ENCONTRAR EL n-ÉSIMO TÉRMINO DE…

Considera la secuencia 20,27,34,41,48,55,62,+7,+7….. observamos que entre ellos hay una diferencia de 7

                          +7 +7  +7 +7 +7 +7

Que pasaría si se te pide encontrar el 200vo término?

Se tendría que encontrar una regla la cual llamaríamos regla de la función (secuencia para diferencias constante)

Como encontrar la regla…                                                n=  1    2    3   4    5   6  7 . . .                      200

Ahora, regresando al ejemplo anterior va de 7 en 7         20,27,34,41,48,55,62,…..                   1413

Observamos que hay una diferencia cte. De 7 en 7.  Parte de la regla de la función 7n, a esta expresión se sustituye n=1 y nos da = 7(1) = 7 para que te de el num 20 te faltan 13, por lo tanto la regla de la función seria:  7n+13.  Como vemos que si cumple ahora encontramos el 200vo término y seria  7(200)+13 = 1400+13 = 1413

Veamos otro ejemplo para entender el problema, de la siguiente tabla: Para la serie…3,1,-1,-3,-5,-7, -9

Observamos que va de -2 en -2

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