ECUACIONES DIFERENCIALES Y PROBLEMAS CON VALORES EN LA FRONTERA
Jose Andres ParraPráctica o problema11 de Octubre de 2016
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ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES (EDP)
Es una ecuación diferencial en la cual la función incógnita depende de varias variables independientes.
Ecuación de la Onda
[pic 2] : Una dimensión : función desconocida: [pic 3]
[pic 4] : Dos dimensiones : función desconocida: [pic 5]
Ecuación de la conducción de calor
[pic 6] : Una dimensión : función desconocida: [pic 7]
[pic 8] : Dos dimensiones : función desconocida: [pic 9]
Ecuación de Laplace
[pic 10] : Dos dimensiones : función desconocida: [pic 11]
Solución de una EDP
Se dice que una función [pic 12]es una solución de una EDP si al reemplazarla en la EDP se obtiene una identidad.
[pic 13]
Métodos de solución
En muchos de los problemas físicos se tienen dos o más variables independientes, por ello los modelos matemáticos correspondientes incluyen EDP en vez de EDO. Un método importante para resolver EDP, conocido como método de separación de variables (para utilizar éste método la ecuación debe ser lineal y homogénea y las condiciones de frontera también deben ser homogéneas). Su característica esencial es la sustitución de la EDP por un conjunto de EDO. La solución requerida de la EDP se expresa entonces como una sumatoria, la cual es casi siempre una serie infinita, formada a partir de las soluciones de la EDO. En muchos casos, al final es necesario trabajar con una serie de funciones senos o cosenos o los dos, de modo que analizaremos esas series, llamadas series de Fourier. El uso del método de la separación de variables se ilustra con diversos problemas que surgen de la conducción del calor, la propagación de ondas y la teoría del potencial.
APLICACIONES DE ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES
ECUACION UNIDIMENSIONAL DE LA ONDA
Suponga que una cuerda elástica de longitud “L” está tensa entre dos puntos fijos a cierto nivel horizontal. Suponga que la cuerda se pone en movimiento de modo que vibre en un plano vertical.
Si se denota por [pic 14] al desplazamiento vertical experimentado por la cuerda en el punto “x”, en el instante “t”.[pic 15][pic 16]
FIGURA 1
FIGURA 2
Si se considera que la amplitud del movimiento no es muy grande y además se consideran despreciables la resistencia del aire y los efectos de la amortiguación, entonces [pic 17]satisface la ecuación diferencial en derivadas parciales: [pic 18]tal que [pic 19]
El coeficiente [pic 20]está dado por [pic 21]donde [pic 22]es la tensión en la cuerda y [pic 23]es la masa por unidad de longitud del material de la cuerda, por lo que “[pic 24]”está dado en [pic 25]es decir [pic 26].
Condiciones de frontera (se supone que los extremos de la cuerda permanecen fijos)
[pic 27]: desplazamiento vertical de la cuerda en el punto ubicado en [pic 28] en cualquier instante “t”.
[pic 29]: desplazamiento vertical de la cuerda en el punto ubicado en [pic 30] en cualquier instante “t”.
[pic 31]: desplazamiento vertical de la cuerda en el punto ubicado en [pic 32] en cualquier instante “t”.
[pic 33]: desplazamiento vertical de la cuerda en el punto ubicado en [pic 34] en cualquier instante “t”.
Condiciones iniciales
[pic 35]: desplazamiento vertical de cualquier punto de la cuerda en el instante t=0 (posición inicial).
[pic 36]:velocidad de cualquier punto de la cuerda en el instante t=0 (velocidad inicial).
Si la cuerda se estira y se la suelta desde el reposo, [pic 37].
Para hallar la solución:[pic 38];[pic 39]de la ecuación [pic 40]”en el caso 2”
Dado que la ecuación es lineal y homogénea y las condiciones de frontera también son homogéneas, es posible aplicar el método de separación de variables, es decir, se buscan soluciones que tengan forma de producto de una función sólo de “x” y una función solo de “t”, por lo tanto se supone que:
[pic 41]tal que [pic 42]y [pic 43]
A partir de esta suposición se puede deducir que: [pic 44]y[pic 45] (1)
- [pic 46]
Puesto que [pic 47]de acuerdo a las condiciones de frontera:
[pic 48] entonces: [pic 49] ó [pic 50]; pero [pic 51]no es posible de acuerdo a la suposición de [pic 52].Por lo tanto, [pic 53].
- [pic 54]
Puesto que [pic 55]de acuerdo a las condiciones de frontera:
[pic 56] entonces: [pic 57] ó [pic 58]; pero [pic 59]no es posible de acuerdo a la suposición de [pic 60].Por lo tanto, [pic 61].
También se puede deducir que: [pic 62] (2)
[pic 63], entonces: [pic 64]
Así, [pic 65]
Si se supone que se jala la cuerda y se suelta desde el reposo (velocidad inicial igual a cero):
[pic 66] entonces: [pic 67][pic 68][pic 69] y [pic 70]; pero [pic 71]no es
posible de acuerdo a la suposición de [pic 72]. Por lo tanto, [pic 73].
Sustituyendo la solución supuesta: [pic 74]en la ecuación diferencial [pic 75], se obtiene: [pic 76]
[pic 77];para descomponer en dos ecuaciones diferenciales ordinarias se iguala a algún parámetro que luego se debe hallar, por ejemplo: [pic 78]
[pic 79]; ahora se obtienen las siguientes ecuaciones diferenciales ordinarias homogéneas de coeficientes constantes: Ecuaciones auxiliares:
Ecuación 1: [pic 80][pic 81][pic 82][pic 83][pic 84] [pic 85] [pic 86] [pic 87] [pic 88]
Ecuación 2: [pic 89][pic 90][pic 91][pic 92][pic 93][pic 94][pic 95][pic 96][pic 97]
Resolviendo la ecuación 1: la solución tiene la forma: [pic 98]
Casos de la ecuación auxiliar:
- Si [pic 99]entonces las soluciones de la ecuación auxiliar [pic 100]son reales y diferentes y se obtiene:
Entonces: [pic 101][pic 102][pic 103]
Para hallar [pic 104]se sustituyen las condiciones deducidas anteriormente en (1): [pic 105]y[pic 106]:
- [pic 107][pic 108][pic 109][pic 110][pic 111]
- [pic 112][pic 113][pic 114][pic 115][pic 116][pic 117][pic 118]
Reemplazando [pic 119] en [pic 120] se obtiene: [pic 121], lo cual contradice la suposición de la solución [pic 122] tal que [pic 123]y [pic 124], por lo tanto no se considera éste caso.
...