PROGRAMACION LINEAL. Métodos de Optimización Aplicados

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Tarea Semana 2:

Modelando Matemáticamente

MII 505 Métodos de Optimización Aplicados

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Introducción

Esta semana se trabajará en la comprensión mediante la modelación matemática, a través de la Programación lineal y los diferentes Modelos de transportes como primera parte del curso de MÉTODOS DE OPTIMIZACION APLICADOS

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Todos sabemos que, en cualquier empresa, muchas de las decisiones que se toman, tienen por objeto hacer el mejor uso posible (optimización) de sus recursos. Por recursos de una empresa entendemos la maquinaria que ésta posea, sus trabajadores, capital financiero, instalaciones, y las materias primas de que disponga. Tales recursos pueden ser usados para fabricar productos (electrodomésticos, muebles, comida, ropa, etc.) o servicios (horarios de producción, planes de marketing y publicidad, decisiones financieras, etc.). La Programación Lineal (PL) es una técnica matemática diseñada para ayudar a los directivos en la planificación y toma de decisiones referentes a la asignación de los recursos.

Las técnicas de PL han sido ampliamente utilizadas en ámbitos tan diferentes como el militar, industrial, financiero, de marketing, e incluso agrícola. No obstante, de tal diversidad de aplicaciones, todos los problemas de PL tienen cuatro propiedades comunes:1. Pretenden optimizar (maximizar o minimizar) alguna cantidad (función objetivo). Así, por ejemplo, el principal objetivo de un banquero sería maximizar beneficios, mientras que el principal objetivo de una empresa transportista podría ser minimizar los costes de los envíos.

Además, estudiaremos los modelos de transporte se puede describir en términos generales, como aquel que se ocupa de asignar y encontrar la ruta para las unidades desde los centros de suministros hacia los centros de recepción, pasando por los puntos de transbordo.

Uno de los requisitos del problema de transporte, es el que se conozca de antemano la forma en que se van a distribuir las unidades de cada origen a cada destino, para poder determinar cuál es el coste por unidad. En ocasiones, no resulta evidente cuál es el mejor medio de distribución, pues existe la posibilidad de transbordos en los que los empaques pasarían por puntos de transferencias intermedias.

El modelo de transporte consiste en buscar con procesos matemáticos la ruta más económica del origen a cada destino, sin embargo, si existen muchos puntos de transferencia intermedia, esta tarea puede ser complicada y laboriosa.

La idea básica consiste en interpretar los viajes individuales como si se tratara de un transporte de un origen a un destino, y así pensar que todos los puntos intermedios son tanto orígenes como destinos potenciales.

En los siguientes casos de Programación Lineal habrá un desarrollo con problemas de optimización de recursos técnicamente más complejos en su modelación, para posteriormente utilizar la herramienta Solver de Excel.

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Desarrollo

1.   La demanda de un artículo perecedero durante los cuatro meses próximos es de 400, 300, 420 y 380 toneladas, respectivamente. Las posibilidades de la oferta durante los mismos meses son 500, 600, 200 y 300 toneladas. El precio de compra por tonelada varía de un mes a otro, y se estima en $100, $140, $120 y $150, respectivamente. Como el artículo es perecedero, la oferta del mes en curso se debe consumir en menos de tres meses (que cuentan a partir del mes en curso). El costo de almacenamiento por tonelada y por mes es de $3. La naturaleza del artículo no permite surtir pedidos atrasados.

1. Proponer y validar un modelo que permita determinar la demanda de entrega durante los cuatro meses siguientes.

Respuesta

Para establecer lo pedido se comienza definiendo las variables de decisión. En este caso corresponde a la cantidad de demanda entregada que se produce cierto mes y que se entrega en el mismo u otro mes medida en toneladas. Esto es:

 Según lo que indica el enunciado, lo que se requiere es minimizar el costo total de demanda de entrega, el cual se puede separar en dos cantidades, el costo de compra C.C. y el costo de almacenaje C.A.  Así, usando los datos dados en el enunciado se deduce que la función, y considerando que el almacenaje de un artículo que se compra en un mes para ser entregado en dos meses después es de dos meses (ejemplo:  se almacena en el mes uno para ser distribuido en el mes 3, lo que implica 2 meses de almacenamiento, mientras que  sólo implicaría un almacenamiento de 1 mes), se deduce que la función objetivo está dada por:[pic 6][pic 7]

 Es claro que los valores  tales que  corresponden a , ya que no se distribuyen artículos de producidos hace más de tres meses, por eso no se presentan estos valores en la definición de la función objetivo. Además, la condición de que no se pueden realizar pedidos atrasados nos dice que  cuando . [pic 16][pic 17][pic 18][pic 19][pic 20]

Se prosigue estableciendo las condiciones que deben satisfacer las variables aquí consideradas:

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