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Sergio GonzálezExamen1 de Julio de 2021
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[pic 1][pic 2][pic 3]
Nombre : C.I.: [pic 4]
Pregunta 1. Una lámina de cartón rectangular cuyas dimensiones, en centímetros, son variables aleatorias “X e Y”, es usada para construir una caja abierta. Al efecto se realizan cortes de secciones cuadradas de 2cm x 2cm en cada vértice, para permitir el doblaje, tal y como se muestra en la figura:[pic 5][pic 6]
⎧ 1 (2x − 8) , 5 < x < 8 , 5 < y < 14 −x Si fX,Y x, y ⎨33[pic 7][pic 8]
⎪⎩0 , t.o.l.
, halle la función de densidad del volumen de la caja.
[pic 9]
Solución.
El volumen de la caja es U= 2(X − 4)(Y − 4) .
Método de las Curvas de Nivel[pic 10]
Hay un punto de tangencia en (7,7) cuyo nivel es u=18.
Región 2<u<8
[pic 11][pic 12]
Región 8<u<10
[pic 13][pic 14]
Región 10<u<16[pic 15][pic 16]
[pic 17][pic 18][pic 19][pic 20][pic 21][pic 22][pic 23]
Región 16<u<18[pic 24][pic 25][pic 26]
[pic 27][pic 28]
En definitiva:[pic 29]
⎧0 , u < 2
⎪ 1 [pic 30]
⎪32
⎪ 1
⎪
[pic 31]
(u− 2)2
(u− 5)
, 2 ≤ u < 8
, 8 ≤u < 10
F (u) = ⎪11 [pic 32][pic 33]
1 3 1 1 47
⎪ u−[pic 34][pic 35][pic 36]
+ (18 −u)
+ u 36 − 2u +
, 10 ≤ u < 16
⎪33 11 198 66 99
⎪ 1
⎪[pic 37][pic 38]
⎪99
(2u− 36)
36 − 2u + 1 , 16 ≤u < 18
⎪⎩1 , u ≥ 18
⎧ 1 u− 1 [pic 39]
⎪
, 2 < u < 8
⎪ 1 , 8 <u < 10[pic 40]
⎪11
⎪ 1 1 [pic 41]
fU(u) = ⎨ +
, 10 <u < 16
⎪33 66
⎪ 1[pic 42]
⎪33[pic 43]
36 − 2u , 16 <u < 18
⎪0 , t.o.l.
⎪⎩
Método del Jacobiano
Consideremos la transformación :[pic 44]
U= 2(X − 4)(Y − 4)
⎪⎧x = + 4
1 1 [pic 45][pic 46][pic 47][pic 48][pic 49]
⎩⎪⎨V = 2(X − 4)
⇒ ⎨
⎪⎩y = + 4[pic 50]
⇒ J(u, v) =
= − ⇒ J(u, v) =
− 2 2v 2v[pic 51]
5 < x < 8 ∧ 5 < y < 14 − x ⇒ 5 < v + 4 < 8 ∧ 5 < u + 4 < 14 − ⎛ v + 4 ⎞ ⇒
2 v ⎜ 2 ⎟
⎝ ⎠
2 < v < 8 ∧ v <u< 6v − v[pic 52][pic 53]
2
fU,V
⎧ 1 1 v = 1
(u, v) = ⎨2v 33 66[pic 54]
, 2 < v < 8 , v <u < 6v − v2
...