Portafolio Estadística - Probabilidad y Teoría de Conjuntos

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Unidad 4

Probabilidad y Teoría de Conjuntos

ÍNDICE

Unidad 4 Teoría de Conjuntos

4.1 Aspectos generales de la probabilidad (conceptos, tipos de probabilidad, enfoques de probabilidad)        Pág.3 - 7

4.2 Leyes de Probabilidad        Pág.8 - 10

4.3 Aplicación de la probabilidad en la administración        Pág.11 - 12

4.4 Árboles de probabilidad        Pág.13 - 14

4.5 Teorema de Bayes        Pág.15 - 17

4.6 Teoría de conjuntos; operaciones aplicadas a la administración        Pág.18

Trabajo Extra-Clase        Pág.19 - 32

4.1 Aspectos Generales de la probabilidad, (conceptos, tipos de probabilidad, enfoques de probabilidad).

Conceptos Básicos de Probabilidad

La probabilidad mide la frecuencia con la que se obtiene un resultado (o conjunto de resultados) al llevar a cabo un experimento aleatorio, del que se conocen todos los resultados posibles, bajo condiciones suficientemente estables. La teoría de la probabilidad se usa extensamente en áreas como la estadística, la física, la matemática, la ciencia y la filosofía para sacar conclusiones sobre la probabilidad de sucesos potenciales y la mecánica subyacente de sistemas complejos.

• Experimentos

Es un proceso o actividad que nos conduce a un resultado u observación.

• Experimento Aleatorio 

Es aquel proceso que para que se pueda representar requiera del cumplimiento de 3 características básicas:

1. El proceso se efectúa a un conjunto de reglas bien definidos
2. Es de naturaleza tal que se repite un mismo resultado
3. Los resultados de cada ejecución dependen de la casualidad, por lo tanto, no se puede predecir un resultado único

• Espacio Muestral

Son todos los resultados posibles de un experimento.

• Punto Muestral

Es un elemento del espacio muestral del experimento que se esté analizando(tratando)

• Evento

Es una colección específica de puntos muestrales que cumplen con ciertas características en un experimento dado, es decir, en otras palabras, es un subconjunto del espacio muestral para denotar un evento siempre usamos cualquier letra mayúscula del abecedario.

• Probabilidad de Laplace

La probabilidad de un evento cualquiera esta dado o dada por la cardinalidad del evento entre la cardinalidad del espacio muestral

P (E) =[pic 3]

• Axiomas de Probabilidad

1.- La probabilidad de un evento cualquiera siempre deberá de ser mayor o igual que cero, pero menor que 1.

2.- La probabilidad del espacio muestral de cualquier experimento siempre será igual a la unidad.

3.- La probabilidad de un evento vacío, siempre será igual a cero, lo cual significa que es imposible de que ocurra.

4.- La probabilidad de un evento cualquiera más su complemento siempre será igual a la unidad.

A: experimento de lanzar una moneda y que caiga águila

P (A) =    =    =  0.5[pic 4][pic 5]

B: experimento de lanzar dos veces una moneda y sus resultados sean sello

P (B) =    =    =    =  0.25[pic 6][pic 7][pic 8]

Tipos de Probabilidad

1. Clásica o a Priori:

Si un suceso puede ocurrir de N maneras mutuamente excluyentes e igualmente probables, y m de ellas poseen una característica A.

P (A) = [pic 9]

1. Empírica o Frecuencial:

Esta teoría está estrechamente relacionada con el punto de vista expresado por Aristóteles: “lo probable es aquello que ocurre diariamente”.

Notamos a través de gran cantidad de observaciones acumuladas con los diversos juegos de azar una forma general de regularidad que permitió establecer una teoría.

Supongamos que efectuamos una serie de n repeticiones del experimento E, intentando mantener constantes las condiciones pertinentes. Sea f el número de repeticiones en las que se presenta el suceso A, de forma que en las restantes n – f no se presentará. Obtendremos así una serie de frecuencias relativas para n1, n2 ….

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Estas frecuencias relativas diferirán poco entre sí cuando las ni sean grandes y tenderán a acumularse en la proximidad de un valor fijo.

Debemos señalar que la estabilidad, a la larga, de las frecuencias relativas se aplica a una amplia clase de experimentos aleatorios, de los que el juego de azar constituye un caso en particular, casi insignificante.

1. Probabilidad subjetiva

Se refiere a la probabilidad de ocurrencia de un suceso basado en la experiencia previa, la opinión personal o la intuición del individuo. En este caso después de estudiar la información disponible, se asigna un valor de probabilidad a los sucesos basado en el grado de creencia de que el suceso pueda ocurrir.

Ejemplo

E: Tirar un dado

A = que salga el n° 3

S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

P(A) = 1/6

Enfoques de Probabilidad

Enfoque matemático, axiomático o de Kolmogorov

Este enfoque se presenta por medio de tres axiomas, los cuales son la fundamentación de toda la teoría de probabilidad.

Axioma 1: 0 < = P(A) < = 1

Esto indica que la probabilidad de ocurrencia de un evento es un número, el cual debe oscilar siempre entre 0 y 1, sin contradecir la definición dada por Laplace en el enfoque clásico.

El extremo superior representa la certeza absoluta de la no ocurrencia del evento, mientras que el inferior representa la certeza absoluta de la no ocurrencia del evento. Cualquier otro valor entre 0 y 1 indica incertidumbre acerca de la ocurrencia del evento.

Axioma 2:

P(S) = 1 P( ø ) = 0

P(S) representa la probabilidad de ocurrencia de algún resultado cuando se realiza un experimento aleatorio, y de acuerdo con el axioma 1, esta probabilidad debe ser 1. En consecuencia, la probabilidad del evento vacío debe ser 0.

Axioma 3: Si A y B son eventos mutuamente excluyentes, entonces la probabilidad de su unión es la suma de sus probabilidades individuales.

P(A U B) = P(A) + P(B)

La expresión anterior es generalizable a más de dos eventos, así:

P(A1 U A2 U A3 U … U An ) = P(A1) + P(A2) + P(A3) + … + P(An)

4.2 Leyes de la Probabilidad

Ley de números grandes

Puedes descubrir la probabilidad desconocida de un evento a través de la experimentación. Por ejemplo, supongamos que no conocemos la probabilidad de sacar una canica de cierto color, pero si sabemos que hay tres canicas en la bolsa. Haces una prueba y sacas una canica verde. Haces otra prueba y sacas otra canica verde. En este punto podrías asegurar que la bolsa solo contiene canicas verdes, pero basado en dos pruebas la predicción no es confiable. Es posible que la bolsa solo contenga canicas verdes o puede que las otras dos sean rojas y tú seleccionaste solo las verdes secuencialmente. Si realizas la misma prueba 100 veces, probablemente descubras que seleccionaste una canica verde alrededor del 66 por ciento de las veces. Esta frecuencia refleja la probabilidad correcta más acertadamente que el primer experimento.

Esta es la ley de números grandes: cuantas más pruebas realizas, más preciso será que la frecuencia del resultado de un evento refleje su probabilidad real.

Ley de sustracción

La probabilidad sólo tiene rango entre 0 y 1. Una probabilidad de 0 significa que no hay posibles resultados para un evento. En nuestro ejemplo anterior, la probabilidad de sacar una canica roja es cero. Una probabilidad de 1 significa que el evento ocurrirá en cada una de las pruebas. La probabilidad de sacar una canica verde o azul es 1. No hay otros posibles resultados. En una bolsa que contiene una canica azul y dos verdes, la probabilidad de sacar una verde es de 2/3. Es un número aceptable, ya que 2/3 es mayor que 0 pero menor que 1, es decir, está dentro del rango de valores aceptables de probabilidad.

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