Problemas En El Plano

Capítulo 3

Sucesiones de números reales

Como libros de referencia para los temas de este capítulo, aunque haya algunas diferencias de

detalle entre su tratamiento y el nuestro, pueden consultarse [BARTLE-SHERBERT] (especialmente sus

comentarios sobre algunos conceptos) y [ROSS], algo más conciso pero igualmente claro.

3.1. Sucesiones convergentes

3.1.1. Definición de sucesión. Sucesiones acotadas y sucesiones convergentes. Límite

de una sucesión convergente

Informalmente, una sucesión de números reales es una lista ilimitada de números

s1, s2, s3, s4, . . . , sn, . . .

(n indica el lugar que ocupa el número sn en la lista); puesto en forma de tabla

lugar 1 2 3 4 5 . . . n . . .

valor s1 s2 s3 s4 s5 . . . sn . . .

es obvio que se trata justamente de una función real con dominio N. Esta es su definición formal.

Definición 3.1.1. Una sucesión de elementos de un conjunto es una aplicación con dominio N y

codominio dicho conjunto. En particular, una sucesión de números reales es una función real con

dominio N, o sea, una aplicación s : N!R.

Tradicionalmente, el valor que una sucesión s toma en cada n " N se denota por sn, en lugar de

s(n) como para las demás funciones. Normalmente nos referiremos a sn con el nombre de término nésimo

de una sucesión, pero no debe perderse de vista que cada término lleva una doble información:

su valor y el lugar n que ocupa.

Como el dominio N es común a todas las sucesiones, en vez de utilizar la notación s : N ! R

para una sucesión es más frecuente encontrar notaciones del tipo (sn)n"N ó (sn)∞n=1 ó {sn}∞n=1 o alguna

similar, poniendo mayor énfasis en los términos. Aunque esta notación propicie a veces la confusión,

no debería ser necesario insistir en la diferencia entre la propia sucesión y el conjunto de valores que

toma la sucesión, que es la misma que hay entre cualquier función y su conjunto de valores (conjunto

imagen o rango); obsérvese, por ejemplo, que una sucesión tiene siempre infinitos términos incluso

aunque tome un solo valor, como es el caso de las sucesiones constantes.

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38 Capítulo 3. Sucesiones de números reales

Ejemplos. Los ejemplos más corrientes de sucesiones se indican dando una fórmula que defina el

término n-ésimo, como en los siguientes casos:

• sn = a, donde a es un número real prefijado (sucesión constante); la sucesión consta de los

términos

a,a,a, . . . ,a, . . .

• sn = n (sucesión de los números naturales); la sucesión consta de los términos

1,2,3,4,5, . . . ,n, . . .

• sn = 1n

; la sucesión consta de los términos

1,

12

,

13

,

14

,

15

, . . . ,

1n

, . . .

• sn = (−1)n; la sucesión consta de los términos

−1,1,−1,1,−1, . . . , (−1)n, . . .

• Las fórmulas no tienen por qué referirse solo a operaciones algebraicas sencillas. Por ejemplo,

considérese la sucesión

3, 1; 3, 14; 3,141; 3,1415; 3,14159; 3,141592; 3,1415926; 3,14159265; 3,141592653;. . .

formada por las aproximaciones decimales de ! (el término n-ésimo sería la aproximación

decimal con n cifras decimales exactas). Aunque no supiéramos escribir con todas sus cifras

el término 1 000 000 000 000 000, sabemos que ese término está perfectamente definido, y lo

mismo podemos decir de cualquier otro. En este caso podemos dar una fórmula explícita para

el término n-ésimo con ayuda de la función parte entera: concretamente, para cada n " N,

sn = 3+ a1

10

+ a2

102 +···+ ak

10k +···+ an

10n ,

donde ak = [10k!]−10[10k−1!] (1 $ k $ n); el hecho de que esta fórmula no proporcione un

algoritmo de cálculo para los ak no obsta para que estos estén definidos sin ambigüedad y sin

excepción alguna.

• Sucesiones recurrentes. Reciben este nombre las sucesiones cuyos términos se definen en función

de los anteriores (definición inductiva o recursiva). Un ejemplo muy citado de este tipo es

la sucesión de Fibonacci, dada por

s1 = 1, s2 = 1, sn+2 = sn+1+sn (n " N),

cuyos primeros términos son

1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144, . . .

Las sucesiones definidas por recurrencia aparecen con frecuencia en cálculos con ordenadores:

ver comentario en [BARTLE-SHERBERT, pág. 85].

3.1. Sucesiones convergentes 39

Otros ejemplos de sucesiones recurrentes son las progresiones aritméticas de primer término x

y razón h, que pueden definirse recursivamente por

s1 = x, sn+1 = sn+h,

y las progresiones geométricas de primer término x y razón r, dadas por

s1 = x, sn+1 = sn ·r.

Se encuentran sin dificultad fórmulas explícitas en ambos casos: sn = x+(n−1)h para las

primeras, sn = x ·rn−1 para las segundas.

• La regla que define una sucesión no tiene por qué ser de carácter estrictamente matemático. Por

ejemplo, puede definirse una sucesión poniendo

sn =

!

107/3 si el nombre en castellano del número n contiene la letra d

%! en caso contrario

(¿cuáles serían sus primeros términos?), o mediante cualquier otra condición que permita asegurar

que a cada n " N sin excepción se le asocia inequívocamente un número real perfectamente

definido.

• Existen sucesiones cuyo rango es exactamente Z. Más difícil: existen sucesiones cuyo rango es

exactamente Q; la construcción usual se hace mediante el proceso diagonal de Cantor y puede

verse en [BARTLE-SHERBERT, págs. 36–37], [SPIVAK, pág. 609].

• ¿Queda definida una sucesión si para cada n " N ponemos

sn = m´ax{x " R : x2+2nx−1 < 0}?

¿Y si ponemos

sn = m´ax{x " R : x2+2nx−1 $ 0}?

En caso afirmativo, ¿puede darse una expresión más directa para sn?

Notación. Por comodidad, a menudo se denotan las sucesiones simplemente por (sn) en vez de

(sn)n"N ó (sn)∞n=1 si esto no da lugar a imprecisiones.

Definición 3.1.2. Una sucesión (sn) es convergente si existe un número real a tal que para cada

" > 0 se puede encontrar un número natural N = N(") de modo que siempre que n > N se verifique

|sn−a| < ".

Se dice entonces que el número a es límite de la sucesión (sn), y se escribe a = l´ımn sn. También

decimos que (sn) converge al número a.

Usaremos a veces la fórmula sn !a para indicar que la sucesión de término n-ésimo sn es convergente

y tiene por límite a.

Nota. Recuérdese que la desigualdad |sn−a|<" es equivalente a las dos desigualdades −" <sn−a<

", que equivalen a su vez a las desigualdades

a−" < sn < a+".

40 Capítulo 3. Sucesiones de números reales

a−" a a+"

s6 s3 s8 s1 s11 s7 s10 s9 s2 s4 s5

|sn−a| < " para n > 6

Ejemplos (sucesiones convergentes). a) Las sucesión constante sn = c (c " R) converge al número

c.

b) La sucesión (1/n) converge a 0 (consecuencia de la propiedad arquimediana, teorema 1.2.2).

Ejemplos (sucesiones no convergentes). a) La sucesión ((−1)n) no es convergente (si tuviese

límite a, no puede ser a = 1 puesto que entonces eligiendo " = 2 > 0, cualquiera que fuese

N bastaría tomar n = 2N +1 > N para conseguir que |sn −a| = |−1−1| = 2 &< "; y si a &=

1, eligiendo ahora " = |1−a| > 0, cualquiera que fuese N bastaría tomar n = 2N > N para

conseguir que |sn−a| = |1−a| &< " = |1−a|).

b) La sucesión (n) no puede ser convergente, pues si tuviese límite a, tomando " = 1 en la definición

de convergencia, para algún N habría de ser n < a+1 siempre que n fuese mayor que N,

lo cual es imposible (consecuencia una vez más de la propiedad arquimediana).

Proposición 3.1.3. Sea a " R. Dada una sucesión (sn), son equivalentes entre sí:

a) (sn) es convergente con límite a; abreviadamente, a = l´ımn sn o sn !a.

b) siempre que a' < a, existe un n' tal que para todo n > n' es a' < sn

y

siempre que a < a'', existe un n'' tal que para todo n > n'' es sn < a''.

c) si a', a'' son números reales tales que a " (a',a''), existe entonces un N tal que para todo n > N

es sn " (a',a'').

Demostración. a) =( b) Dado a' < a, tomando " = a−a' > 0 existirá por hipótesis un N tal que si

n > N entonces sn > a−" = a−(a−a') = a'. Para a < a'' se razona de manera similar.

b) =(c) Basta observar que x " (a',a'') significa que a' <x <a''. Por consiguiente, si a " (a',a'')

existen n' y n'' tales que para todo n > n' es sn > a' y para todo n > n'' es sn < a''. Tomando ahora

N = m´ax{n',n''}, siempre que n > N es simultáneamente n

...