Problemas el saduky

1.1 Halle el vector unitario a lo largo de la línea que une el punto (2,4,4) con el punto (-3,2,2).

(1)[pic 1][pic 2]

(2)  Donde:

=el vector unitario[pic 3]

A=el vector

|A|=la magnitud del vector

= son los componentes de A[pic 4]

Sustituyendo en la ec.1  nos quedaría que nuestro vector unitario a lo largo de A por

[pic 5]

Solucion:

[pic 6]

Nuestro vector A= [pic 7]

Sustituyendo en la ec.1

[pic 8]

[pic 9]

[pic 10]

1.2.- Resuelva los siguientes incisos

A= (2, 5, -3)   BA= (3, -4, 0)  C= (1, 1, 1)

1.     Primero debemos sustituir los vectores A y B en la operación,[pic 11]

    [pic 12]

Ahora multiplicamos el vector B por 2

        [pic 13]

Después se realizara la suma pero para esto “la suma de vectores se realiza posición por posición, de esta manera

    [pic 14]

Se coloca (x, y, z) para separar cada posición, por último se realiza la suma de cada posición

[pic 15]

1.       [pic 16]

Para realizar la resta hacemos los mismos pasos que en el ejercicio anterior lo único que cambiara será el signo negativo

[pic 17]

Ahora para calcular la magnitud realizamos la raíz de la suma de los cuadrados del vector A-5C

[pic 18]

1.      Primero multiplicamos el vector B por k[pic 19]

   Ahora calculamos la magnitud[pic 20]

[pic 21]

1.3

Si:

[pic 22][pic 23]

[pic 24]

Determinemos:

1. A - 2B + C
2. C – 4(A + B)
3. [pic 25]
4. A ▪ C – [pic 26]
5. B X ([pic 27][pic 28]

1. A - 2B + C

<2 , 1, -3> - 2 <0, 1, -1>

= <2, 1, -3> - <0, 2, -2> + <3, 5, 7>

= <5 , 4, 6>

1. C – 4(A + B)

<3, 5, 7> - 4(<2, 1, -3> + <0, 1,  -1>)

= < 3, 5, 7> -4(<2, 2, -4>)

= <3, 5, 7> - <8, 8, -16>

=<-5, -3, -23>

C)      [pic 29]

[pic 30]

[pic 31]

[pic 32]

[pic 33]

d)A ▪ C – [pic 34]

             = <2, 1, -3>▪ <3, 5, 7> - [pic 35]

             = (6+5-21) - [pic 36]

             = -10 - [pic 37]

             = -11.41

e) B X ([pic 38][pic 39]

        [pic 40]

        [pic 41]

        =<[pic 44][pic 45][pic 42][pic 43]

1.4.  Si los valores de posición de los puntos T y S son 3ax -2ay +az y 4ax +6ay +2az, respectivamente, determine: a) las coordenadas de T, B) el vector de distancia de T y S, C) la distancia entre T y S.

1. Para obtener las coordenadas solo se necesita quitar ax, ay, az

T (3,-2,1) y S (4,6,2)

1. Para obtener  el vector distancia tenemos que restar S-T.

(4, 6,2) – (3,-2,1)

= (1, 8,1)

=ax+8ay+az

1. Se utiliza la fórmula de distancia  punto a punto.

d=[pic 46]

d=[pic 47]

d=[pic 48]

[pic 49]

d=[pic 50]

d= 8.1240

1.6 Dado los vectores:

• [pic 51]
• [pic 52]
• [pic 53]

Determine  tales que los vectores sean mutuamente ortogonales.[pic 54]

Para determinar la ortogonalidad entre dos vectores se debe obtener un producto punto 0.

[pic 55]

[pic 56]

[pic 57]

[pic 58]

[pic 59]

[pic 60]

Se despejan las variables para obtener los valores mediante ecuaciones de dos variables:[pic 61]

[pic 62]

[pic 63]

[pic 64]

[pic 65]

[pic 66]

1.8  Dados tres vectores

P= 2i + j – 2k

Q= 4i – 3j +2k

R= - i + j +2k

a)

P+Q-R

(2i+j-2k) + (4i-3j+2k) – (-i+j+2k)

= 7i - 3j  - 2k

b)

Pº(QxR)

              I          j          k[pic 67][pic 68]

             4         -3         2     = - 8i – 10j +k

           -1           1         2    

Pº(QxR) = (2i+j-2k) º (-8i-10j+k) = -28

c)

Qx(PºR)

(2i+j-2k) º (-i+j+2k) = -5

-5(4i-3j+2k) = -20i +15j -10k

d)

(PxQ) º (QxR)[pic 69][pic 70]

          I        j       k

          2      1     -1       = - 4i – 12j - 10k

          4     -3      2

     ((-4i-12j-10k) º (-8i-10j+k) = 142

e)

(PxQ) x (QxR)

[pic 71][pic 72]

      I       j       k

     -4   -12   -10         = -112i +84j -56k

     -8   -10      1

1.10 Si A=-ax +6ay+5az y B=ax + 2ay + 3az.

Halle

1. Las proyecciones escalares de A sobre B.
2. La proyección vectorial de B sobre A
3. El vector unitario perpendicular al plano que contiene A y B.

El concepto de proyecciones de vectores también se conoce como componentes de un vector. Es una de las opciones básicas con vectores. Hay dos tipos básicos de proyecciones cuando se trata de vectores. Es la proyección escalar, que es la magnitud de la proyección vectorial, y la propia proyección del vector, que representa un vector unitario.

Para encontrar la proyección del vector A sobre el vector B es necesario sacar previamente la componente de ambos vectores. Ya que la fórmula para encontrar la proyección nos dice:

[pic 73]

[pic 74]

Por consiguiente para encontrar la componente de ambos vectores seguimos la siguiente fórmula:

[pic 75]

[pic 76]

A)  Por lo tanto utilizando los vectores del ejercicio tenemos que:

NOTA: El ejercicio nos pide que calculemos la proyección escalar, La proyección escalar es conocida como el componente solamente, ya que esta obviamente nos da un escalar mientras que la proyección nos da un vector

[pic 77]

[pic 78]

[pic 79]

B)  En este caso si obtendremos la proyección vectorial del vector B sobre el vector a

[pic 80]

[pic 81]

[pic 82]

[pic 83]

C)   Nos pide que encontremos un vector perpendicular unitario entre ellos. El producto Cruz nos ayuda a encontrar un vector ortogonal al plano que forman AXB

[pic 84]

[pic 85]

Ya que encontramos el vector ortogonal buscamos el vector unitario.

[pic 86]

1.11 Calcule los ángulos que el vector    forma con los ejes x, y y z. [pic 87]

[pic 88]

[pic 89]

[pic 90]

1.12 Halle el triple producto escalar de P, Q y R cuando

P= 2ax-ay+az

Q= ax+ay+az

R= 2ax+3az[pic 91][pic 92]

  ax      ay    az

QxR=   1     1    1   = (3ax+2ay+0) - (2az+0+3ay)= 3ax-ay+2az

            2      2    2  

P*(QxR)= (2ax-ay+az)*(3ax-ay+2az)

P*(QxR)= 6ax+ay-2az

P*(QxR)= 5        

1.14 Para poder sacar e resultado realizamos una operación llamada producto mixto

Los triples productos aparecen cuando se desea definir multiplicaciones entre tres vectores

El producto mixto de los vectores [pic 93] se denota por [pic 94] y está definido como

[pic 95]

Cálculo del producto mixto

...