Programacion no lineal

PROGRAMACION NO LINEAL

“INTRODUCCION “

PROGRAMACION NO LINEAL: es el proceso de resolución de un sistema de igualdades y desigualdades sujetas a un conjunto de restricciones sobre un conjunto de variables reales desconocidas, con una función objetivo a maximizar (o minimizar), cuando alguna de las restricciones o la función objetivo no son lineales.

El problema de programación no lineal puede enunciarse de una forma muy simple:

Maximizar una función objetivo

o

Minimizar una función objetivo (de coste)

Donde

PROBLEMAS DE OPTIMIZACION NO RESTRINGIDO

Los problemas de optimización no restringida no tienen restricciones, por lo que la función objetivo es sencillamente. Maximizar f(x)

Sobre todos los valores x= (x1, x2,…,xn). Según el repaso del apéndice 3, la condición necesa­ria para que una solución específica x = x* sea óptima cuando f(x) es una función diferenciable es

af = 0 en x= x*, para j=1,2,…,n.

axj

Cuando f (x) es cóncava, esta condición también es suficiente, con lo que la obtención de x* se reduce a resolver el sistema de las n ecuaciones obtenidas al establecer las n derivadas parciales iguales a cero. Por desgracia, cuando se trata de funciones no lineales f (x), estas ecuaciones suelen ser no lineales también, en cuyo caso es poco probable que se pueda obtener una solu­ción analítica simultánea. ¿Qué se puede hacer en ese caso? Las secciones 13.4 y 13.5 descri­ben procedimientos algorítmicos de búsqueda para encontrar x* primero para n = 1 y luego para n > 1. Estos procedimientos también tienen un papel importante en la solución de varios tipos de problemas con restricciones, que se describirán en seguida. La razón es que muchos algo­ritmos para problemas restringidos están construidos de forma que se adaptan a versiones no restringidas del problema en una parte de cada iteración.

Cuando una variable Xj tiene una restricción de no negatividad, x- > 0, la condición ne­cesaria (y tal vez) suficiente anterior cambia ligeramente a

af {≤ 0 en x= x*, si x*= 0

axj {= 0 en x= x*, si x*> 0

Para cada j de este tipo. Esta condición se ilustra en la figura 13.11, donde la solución óptima de un problema con una sola variable es x = 0 aun cuando la derivada ahí es negativa y no cero. Como este ejemplo tiene una función cóncava para maximizar sujeta a una restricción de no negatividad, el que su derivada sea menor o igual a 0 en # = 0, es una condición necesaria y su¬ficiente para que x= 0 sea óptima.

Un problema que tiene algunas restricciones de no negatividad y que no tiene restriccio-nes funcionales es un caso especial (m = 0) de la siguiente clase de problemas.

PROBBLEMA DE OPTIMIZACION NO LINEAL, CON RESTRICCIONES

Los problemas de optimización linealmente restringida se caracterizan por restricciones que se ajustan por completo a la programación lineal, de manera que todas las funciones de restric¬ción g¡ (x) son lineales, pero la función objetivo es no lineal. El problema se simplifica mucho si sólo se tiene que tomar en cuenta una función no lineal junto con una región factible de programación lineal. Se han desarrollado varios algoritmos especiales basados en una exten¬sión del método simplex para analizar la función objetivo no lineal.

Los programas no lineales con restricciones en desigualdad tienen la formulación siguiente:

donde f : A ⊆ IRn → IR, _g = (g1, . . . , gm) : A ⊆ IRn → IRm siendo, al menos,

la funci´on objetivo o una de las funciones que determinan las restricciones

no lineal.

Como toda soluci´on posible de un programa no lineal tiene

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