Programación no lineal

UNIDAD 3

PROGRAMACIÓN NO LINEAL

OBJETIVO

Crear modelos con ecuaciones no lineales basados en problemas organizacionales de la actualidad, donde el principal objetivo sea minimizar costos y maximizar las utilidades.

TEMARIO

3.1 CARACTERÍSTICAS DE LOS PROBLEMAS NO LINEALES

3.2 FORMULACIÓN Y RESOLUCIÓN DE MODELOS MATEMÁTICOS CON RESTRICCIONES U OBJETIVOS NO LINEALES

3.3 MÉTODO DE RECURRENCIA

3.4 ALGORITMO DE POOLING

INTRODUCCIÓN

La programación no lineal forma parte de la investigación de operaciones y también, como la programación lineal, tiene como finalidad proporcionar los elementos para encontrar los puntos óptimos para una función objetivo. En este planteamiento, tanto la función objetivo como las restricciones son no lineales.

Se presenta un problema de programación no lineal cuando tanto la función objetivo que debe optimizarse, como las restricciones del problema, o ambas, tienen forma de ecuaciones diferenciales no lineales, es decir, corresponden a ecuaciones cuyas variables tienen un exponente mayor que 1.

El campo de aplicación de la programación no lineal es muy amplio, sin embargo, hasta la fecha los investigadores de esta rama del conocimiento no han desarrollado un método sistemático que sea práctico para su estudio. La programación no lineal también es conocida con el nombre de programación cuadrática, en virtud de que la mayor parte de los problemas que resultan contienen ecuaciones cuadráticas o de segundo grado.

Muchas veces se presentan casos en que se deben maximizar funciones no lineales que presentan restricciones lineales; esto es posible resolverlo, siempre y cuando se admita la hipótesis de que la utilidad marginal no es constante, en este caso, la función objetivo deja de ser lineal.

Las ventajas más importantes de la programación no lineal son dos:

1. En algunas ocasiones la distribución óptima del presupuesto excluye cualquiera de los bienes considerados en el presupuesto general; esta situación se refleja en cualquiera de las restricciones del modelo.

2. La programación no lineal aporta mayor información que la contenida en el análisis marginal. No sólo define el objetivo, sino que también señala la orientación específica para lograr el objetivo.

3.1 CARACTERÍSTICAS DE LOS PROBLEMAS NO LINEALES

Los problemas no lineales se caracterizan por tener relaciones no lineales; es decir, no existe una relación directa y proporcional entre las variables que intervienen. Los problemas de programación no lineal, también son llamados curvilíneos, ya que el área que delimita las soluciones factibles en un gráfico se presenta en forma de curva.

La función objetivo en la programación no lineal, puede ser cóncavo o convexo. Es cóncavo cuando se trata de maximizar utilidades, contribuciones, etc. Es convexo cuando trata de minimizar recursos, costos, etc.

Los problemas que contienen restricciones lineales, se resuelven de una forma más sencilla que los problemas con restricciones no lineales.

ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE

1. Investigue un problema no lineal y explique por qué cumple con las características de la no linealidad

3.2 FORMULACIÓN Y RESOLUCIÓN DE MODELOS MATEMÁTICOS CON RESTRICCIONES U OBJETIVOS NO LINEALES.

Una forma de resolver los problemas de programación no lineal es convirtiendo los problemas de forma tal, que se pueda aplicar la programación lineal. Los problemas de programación no lineal abarcan problemas con función objetivo no lineal y restricciones no lineales, como se presenta en el ejemplo siguiente:

Maximizar Z= ($9.6 X - $0.06 X2) + $10Y

Sujeto a: 3 X2 + 2Y2 < 13,950

X > 0, Y > 0

Como se puede observar, tanto la función objetivo como la restricción presentan variables de segundo grado (potencia cuadrática); por lo tanto, son no lineales. Para comenzar con la resolución de un problema no lineal se representa la restricción en un gráfico, para ello, se utiliza el mismo

Procedimiento empleado en el método gráfico de programación lineal (véase tema 2.3 Algoritmos de solución).

Considerando la desigualdad 3 X2 + 2Y < 13, 950, se le asigna un valor de 0 a la variable Y, para encontrar el punto de X en el gráfico. Así mismo, se asigna un valor de 0 a la variable X, para encontrar el punto Y en el gráfico: Despejando la variable X se procede de la forma siguiente:

3 X2 + 2Y2 < 13,950

3 X2 + 2(0)2 < 13,950

X2 < 13,950 / 3

X2 < 4,650

X

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