Programación No Lineal

ÍNDICE:

INTRODUCCIÓN

PROGRAMACIÓN NO LINEAL

PLANTEAMIENTO DE PROBLEMAS DE PROGRAMACIÓN NO LINEAL

OPTIMIZACIÓN CLÁSICA

PUNTOS DE INFLEXIÓN

MÁXIMOS Y MÍNIMOS

MULTIPLICADORES DE LAGRANGE (λ LAMBDA)

INTERPRETACIÓN ECONÓMICA DEL PROBLEMA DUAL

CONCLUSIÓN

INTRODUCCIÓN:

La Programación no Lineal (PNL) es una parte de la Investigación Operativa cuya misión es proporcionar una serie de resultados y técnicas tendentes a la determinación de puntos óptimos para una función en un determinado conjunto oportunidades, donde tanto la función objetivo, como las que intervienen en las restricciones que determinan el conjunto de oportunidades pueden ser no lineales. Una definición concisa de la PNL se puede decir que es el proceso de resolución de un sistema de igualdades y desigualdades sujetas a un conjunto de restricciones sobre un conjunto de variables reales desconocidas, con una función objetivo a maximizar, cuando alguna de las restricciones o la función objetivo no son lineales.

Evidentemente, la estructura de un determinado problema puede ser muy variada, según las funciones que en él intervengan a diferencia de la Programación Lineal donde la forma especial del conjunto de oportunidades y de la función objetivo permite obtener resultados generales sobre las posibles soluciones y facilitan los tratamientos algorítmicos de los problemas.

Cuando el conjunto de restricciones, la función objetivo, o ambos, son no lineales, se dice que se trata de un tipo de problema de programación no lineal

PROGRAMACIÓN NO LINEAL

La programación lineal ha demostrado ser una herramienta sumamente poderosa, tanto en la modelización de problemas de la vida real como en la teoría matemática de amplia aplicación. Sin embargo, muchos problemas interesantes de optimización son no lineales. El estudio de estos problemas implica una mezcla diversa de álgebra lineal, cálculo multivariado, análisis numérico y técnicas de computación. Entre las áreas especiales importantes se encuentra el diseño de algoritmos de computación (incluidas las técnicas de puntos interiores para programación lineal), la geometría y el análisis de conjuntos convexos y funciones, y el estudio de problemas especialmente estructurados, tales como la programación cuadrática. La optimización no lineal proporciona información fundamental para el análisis matemático, y se usa extensamente en las ciencias aplicadas (en campos tales como el diseño de ingeniería, el análisis de regresión, el control de inventario y en la exploración geofísica).

De una manera general, el problema de programación lineal consiste en encontrar x= (x1, x2,…, xn) para:

Maximizar f(x)

Sujeta a:

gj(x) ≤ bj, para i= 1, 2,…, m, Y x ≥0,

En donde f(x) y las gj (x) son funciones dadas de n variables de decisión.

No se dispone de un algoritmo que resuelva todos los problemas específico que se ajustan a este formato. Sin embargo, se ha hecho grandes logros en lo que se refiere a algunos casos especiales importantes de este problema, haciendo algunas suposiciones sobre las funciones, y la investigación sigue muy activa.

PLANTEAMIENTO DE PROBLEMAS DE PROGRAMACIÓN NOLINEAL

Un problema general de programación no lineal consiste en encontrar los valores de ciertas variables que maximizan o minimizan una función dada, dentro de un conjunto definido por una serie de restricciones de desigualdad, de forma que no hay aseguradas condiciones de linealidad ni sobre la función a optimizar ni sobre las funciones que definen el conjunto dentro del cual buscamos dicho óptimo.

Es decir el problema consiste en:

Maximizar f (x1. x2. L. xn)

Y son ambas al menos de clase dos en todo su dominio.

El conjunto de oportunidades X es el conjunto en el cual maximizamos la función, es decir, la intersección entre el dominio de las funciones del problema y el conjunto determinado por las restricciones. Así,

Donde

X = {x ∈ D / g(x) ≤ b},

b = (b1,…, bm).

Este tipo de problemas es muy representativo de las circunstancias en las que se desenvuelve la actividad económica. Normalmente, se dispone de cantidades limitadas de recursos, pero sin la obligación de emplearlas en su totalidad, si ello no resultase adecuado. Por consiguiente, es posible pensar en soluciones factibles y óptimas que no saturen necesariamente todas las restricciones, dejando un excedente inutilizado del recurso cuya disponibilidad limitan.

Se debe tener en cuenta sin embargo, en relación con el problema formulado, que el sentido de las desigualdades (≤) es únicamente cuestión de convenio. Una restricción con la desigualdad contraria puede reducirse a una del tipo anterior sin más que multiplicar por (-).

Por otra parte, una restricción de igualdad puede reemplazarse por dos de desigualdad, por ejemplo, g(x) = b se convierte en g(x) ≤ b y -g(x) ≤ -b. O bien puede ser tratada directamente, sin restringir el signo del multiplicador correspondiente.

En ocasiones, para que el problema sea económicamente significativo, es necesario que las variables instrumentales sean no negativas, es decir, x ≥ 0. Más adelante en este capítulo, daremos un tratamiento específico a estas restricciones.

Asociadas al problema de maximización, podemos definir la siguiente función, muy importantes en lo que sigue:

Función de LaGrange L:

L: D × Rm+ → R

L(x, ë) = f(x) – ët [g(x) - b] 1,

Donde ë → Rm+ es el

...