RE: GEOMETRIA

ÍNDICE GENERAL

Introducción VII

1. GEOMETRIA DEL ESPACIO EUCLIDIANO 1

1.1. El espacio vectorial Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2. Subespacios de Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.3. Producto punto y ortogonalidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.4. Transformaciones lineales y matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.5. Producto vectorial, rectas y planos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1.6. Super…cies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

1.7. Coordenadas cilindricas y coordenadas esfericas . . . . . . . . . . . . . . . 35

1.8. Conceptos básicos de topologia en Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

2. FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES 49

2.1. Funciones de variable real y valor vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

2.2. Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

2.3. Campos escalares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

2.4. Geometría de campos escalares. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

2.5. Funciones vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

2.6. Limites y continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

2.7. Derivadas parciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

2.8. Derivadas direccionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

3. DIFERENCIABILIDAD 105

3.1. La diferencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

3.2. Gradiente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

3.3. Regla de la cadena . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

3.4. Funciones implicitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

3.5. Máximos y mínimos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

3.6. Multiplicadores de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

iii

iv ÍNDICE GENERAL

4. INTEGRALES MULTIPLES 149

4.1. Integrales dobles sobre rectángulos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

4.2. Integral doble sobre regiones generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

4.3. Cambio de coordenadas en integrales dobles. . . . . . . . . . . . . . . . . . 167

4.4. Aplicaciones de las integrales dobles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176

4.5. Integrales triples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180

4.6. Cambio de coordenadas en integrales triples . . . . . . . . . . . . . . . . . 185

4.7. Aplicaciones de las integrales triples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193

5. INTEGRALES DE LINEA 205

5.1. Integral de línea de campos escalares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206

5.2. Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212

5.3. Integral de lìnea de campos vectoriales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216

5.4. Trabajo, ‡ujo y circulación. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219

5.5. Teorema fundamental del cálculo para integrales de lìnea. . . . . . . . . . . 221

5.6. Teorema de Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228

6. INTEGRALES DE SUPERFICIE 241

6.1. Super…cies paramétrizadas y áreas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242

6.2. Integrales de super…cie de campos escalares . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249

6.3. Integrales de super…cie de campos vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . 252

6.4. Teorema de Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255

6.5. Teorema de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260

A. Apendice 271

Afterword 273

Prefacio

v

vi ÍNDICE GENERAL

Introducción

vii

viii INTRODUCCIÓN

CAPÍTULO 1

GEOMETRIA DEL ESPACIO EUCLIDIANO

Es el mejor de los buenos

quien sabe que en esta vida

todo es cuestión de medida:

un poco más, algo menos...

A. MACHADO, CXXVI

"Proverbios y cantares", XII

1

2 CAPÍTULO 1. GEOMETRIA DEL ESPACIO EUCLIDIANO

En los cursos anteriores de cálculo se consideraron funciones de variable real y valor real,

o sea funciones de…nidas sobre subconjuntos de la recta real. El cálculo vectorial considera

funciones

...