Regresión lineal

Regresion lineal

INTRODUCCION

En esta breve introducción, abordaremos el análisis de datos realizado utilizando el método de mínimos cuadrados para determinar la relación entre la temperatura del vapor y la dilatación de un material. En el proceso, se ha calculado el coeficiente de correlación R, que proporciona información sobre la fuerza y dirección de esta relación. Los datos de temperatura del vapor y dilatación se han utilizado para encontrar la ecuación de una línea de mejor ajuste, que describe cómo la temperatura del vapor influye en la dilatación. Además, se ha calculado el valor de R, que es una medida de la correlación entre estas dos variables.

INSTRUCCION

Forme equipos de cuatro integrantes, y utilizando los datos de la tabla de Excel, así como el archivo con el método de los mínimos cuadrados, encuentre la ecuación que pasa por los puntos de temperatura del vapor vs. dilatación. Determine el valor de la correlación R y mencione si esta correlación es alta, media, baja o nula. Grafique las dos curvas: la curva con los datos reales de la variable dependiente (Yi) y la de los datos calculados con la ecuación (Yi_).

DESARROLLO

Para encontrar la ecuación que mejor se ajusta a los puntos de temperatura del vapor y dilatación, se utiliza el método de mínimos cuadrados. Este método busca la línea de mejor ajuste (ecuación lineal) que minimiza la suma de los cuadrados de las diferencias entre los valores observados y los valores predichos por la ecuación.

La ecuación de una línea es de la forma: y = mx + b, donde "y" es la variable dependiente (dilatación), "x" es la variable independiente (temperatura del vapor), "m" es la pendiente de la línea y "b" es la ordenada al origen.

Primero, se calcula la pendiente "m" y la ordenada al origen "b" utilizando las siguientes fórmulas:

[pic 1]

Donde:

-n es el número de puntos de datos (12)

-∑x es la suma de las temperaturas de vapor

-∑y es la suma de dilataciones

-∑xy es la suma del producto de las temperaturas del vapor y las dilataciones

--∑x2 es la suma de los cuadrados de las temperaturas del vapor

[pic 2]

Obteniendo las sumatorias con los datos proporcionados

∑x =401+422+435+444+458+467+482+492+505+513+526+537= 5645

∑y =19+18.8+18.1+17.4+16.9+16.4+15.8+15.2+14.4+13.6+12.8+12= 190.2

∑xy =(401∗19)+(422∗18.8)+(435∗18.1)+(444∗17.4)+(458∗16.9)+(467∗16.4)+ (482∗15.8)+(492∗15.2)+(505∗14.4)+(513∗13.6)+(526∗12.8)+ (537∗12)=226191.2

∑x2 =401 2+4222+4352+4442+4582+4672+4822+4922+5052+5132+5262+5372= 31135267

Se sustituyen valores en la formula para obtener m y b

[pic 3]

[pic 4]

La ecuación de la línea de mejor ajuste es, por lo tanto:

[pic 5]

Ahora, para determinar el valor de la correlación R (coeficiente de correlación), se calcula el coeficiente de determinación R^2. R^2 mide la proporción de la variabilidad en la variable dependiente que es explicada por la variable independiente. R se obtiene tomando la raíz cuadrada de R^2.

[pic 6]

Donde  es la media de las dilataciones [pic 7]

[pic 8]

Calculando R2:

[pic 9]

[pic 10]

Obteniendo R:

[pic 11]

[pic 12]

La correlación R es aproximadamente 0.9907. Esto indica una correlación muy alta entre la temperatura del vapor y la dilatación. En general, cuanto más cercano a 1 sea el valor de R, más fuerte es la correlación entre las variables. En este caso, la correlación es alta, lo que sugiere que la temperatura del vapor y la dilatación están fuertemente relacionadas.

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