Sistemas de ecuaciones lineales EJERCICIOS

Sistemas de ecuaciones lineales                                          

[pic 1]

Donde

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[pic 9]Donde  [pic 10]

• Si al menos un [pic 11]
• [pic 12]

Sistema de ecuaciones lineales son:

• Consistentes cuando: tienen solución única o infinidad de soluciones.
• Inconsistentes cuando: No tienen solución.

Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones lineales.

EJERCICIO 1

[pic 13]

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EJERCICIO 2

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EJERCICIO 3

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EJERCICIO 4

SISTEMA HOMOGÉNEO

[pic 35][pic 36]

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[pic 39]

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algebraicas de la forma:

a11x1 + a12x2 + ....+a1nxn = b1

a21x1 + a22x2 + ....+a2nxn = b2

[pic 41]

am1x1 + am2x2 + ....+amnxn = bm

xi son las incógnitas, (i = 1,2,...,n).

aij son los coeficientes, (i = 1,2,...,m) (j = 1,2,...,n).

bi son los términos independientes, (i = 1,2,...,m).

aij y b i [pic 42] [pic 43].

m, n [pic 44] [pic 45];      

  m > n, ó, m = n, ó, m < n.

el número de ecuaciones no tiene por qué ser igual al número de incógnitas.

Cuando n toma un valor bajo, es usual designar a las incógnitas con las letras x, y, z, t, ...

Cuando bi = 0 para todo i, el sistema se llama homogéneo.

La solución de un sistema de ecuaciones lineales es cada conjunto de valores que satisface a todas las ecuaciones.

• Si a ambos miembros de una ecuación de un sistema se les suma o se les resta una misma expresión, el sistema resultante es equivalente.
• Si multiplicamos o dividimos ambos miembros de las ecuaciones de un sistema por un número distinto de cero, el sistema resultante es equivalente.
• Si sumamos o restamos a una ecuación de un sistema otra ecuación del mismo sistema, el sistema resultante es equivalente al dado.
• Sin en un sistema se sustituye una ecuación por otra que resulte de sumar las dos ecuaciones del sistema previamente multiplicadas o divididas por números no nulos, resulta otro sistema equivalente al primero.
• Si en un sistema se cambia el orden de las ecuaciones o el orden de las incógnitas, resulta otro sistema equivalente

Sistema de ecuaciones

• Incompatible

No tiene solución.

• Compatible

Tiene solución.

• Compatible determinado

Solución única.

• Compatible indeterminado

Infinitas soluciones.

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La matriz ampliada del sistema de ecuaciones:

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es:

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Si a la tercera y segunda fila le restamos la primera, obtenemos:

[pic 70]

Lo que acabamos de hacer es equivalente a restar a la tercera y segunda ecuación la primera.

Si ahora intercambiamos la segunda y tercera filas ( ecuaciones ), obtenemos la siguiente matriz triangular superior:

[pic 71]

que es la matriz ampliada del sistema de ecuaciones:

[pic 72]

que es equivalente al inicial.

Solucionamos la tercera ocuacion para obtener   [pic 73]  :

[pic 74]

En la primera y segunda ecuación, sustituimos   [pic 75]   por la solucion de la tercera ecuación   (   [pic 76]   ), para obtener:

[pic 77]

La segunda ecuación es ahora una ecuación con una sola incognita,   [pic 78] , que resolvemos para obtener   [pic 79] .   Sustituimos, en la primera ecuación,   [pic 80]   por 1   (   [pic 81]   ). Esto nos da una ecuación en   [pic 82]  :

[pic 83]

que al resolverla termina de darnos la solución del sistema de ecuaciones inicial:

[pic 84]

[pic 85]

Si [pic 86] y [pic 87]. El producto AB es la matriz m[pic 88]1 cuyos columnas son [pic 89] . En la que [pic 90]. son columnas de B.

[pic 91] y [pic 92] [pic 93] 

A=[pic 94] , B=[pic 95]  A [pic 96] B= [pic 97] = [pic 98]

Nota: Cuando multiplicamos una matriz por un vector, es necesario que el número de filas del vector coincida con el número de columnas de la matriz. Si no es así, la multiplicación no está definida..

Para tener una visión mas general se puede escribir como:

D= [pic 99] , F= [pic 100] 

D [pic 101] F= [pic 102] = [pic 103]

• VECTORES EN R-3
• Obtenga 2 vectores de norma tres que sean octogales al vector v=(1,-2,-3)

Si u=(x,y,z)   llull= 3

u.v=0 para ser octogonal

(x,y,z).(1,-2,-3)=0

X-2y-3z=0

Despejamos a X

X=2y+3z

Y,z son las variables libres

...