Series de fourier y EDP
Enviado por gunsanderikrose • 21 de Abril de 2022 • Apuntes • 639 Palabras (3 Páginas) • 55 Visitas
Tema 4: Series de Fourier y EDP
Rau´l Puente
21 de enero de 2021
4.1. Series de Fourier
La clase pasada vimos que el conjunto
[pic 1] (4.1)
es ortogonal (de tarea), con el producto interior definido como
[pic 2] (4.2)
por lo que s´olo falta ver si el conjunto genera y si es l.i.
Segundo punto: ¿El conjunto genera? Para probar esto, necesitamos tomar un elemento arbitrario del espacio de funciones peri´odicas de [−p,p] y ver si ´este se puede escribir como “combinacio´n lineal” (serie) de los elementos de BF.
En geometr´ıa anal´ıtica (con ca´lculo diferencial) aprendieron que, al usar la base cano´nica, escribir un vector arbitrario es sencillo pues los vectores son ortonormales, e.g.
(2,5) = (2,5) ·ˆi + (2,5) · ˆj = 2ˆi + 5ˆj Ahora, si en lugar de la base can´onica se hubiera usado una base arbitraria | (4.3) |
~e1 = (2,−1) | (4.4a) |
~e2 = (3,2) la representacio´n del vector (2,5) es un poco ma´s complicada | (4.4b) |
(2,5) = A~e1 + B~e2 | (4.5) |
¿Cua´nto vale A y B? Siguiendo lo que se hizo en la ecuaci´on (4.3), para encontrar las expresiones de las constantes lo que se hace es proyectar el vector arbitrario sobre el elemento de la base correspondiente (2,5) ·~e1 = (A~e1 + B~e2) ·~e1
=⇒ (2,5) ·~e1 = A~e1 ·~e1 + B~e2 ·~e1 haciendo lo mismo con el segundo vector (2,5) ·~e2 = (A~e1 + B~e2) ·~e2 | (4.6) |
=⇒ (2,5) ·~e2 = A~e1 ·~e2 + B~e2 ·~e2 i.e., substituyendo los valores de ~e1 y ~e2 | (4.7) |
[pic 3] (4.8)
1
Vemos que el c´alculo se complic´o porque aparecen productos cruzados no nulos de los vectores de la base. ¿Co´mo hubiera cambiado el desarrollo si la base hubiera sido ortogonal? E.g.[pic 4]
[pic 5] (4.9)
y como[pic 6] son ortogonales, al desarrollar con el m´etodo de arriba, no aparece ningu´n sistema de ecuaciones, i.e. los coeficientes quedan dados por
...