Suceciones y series en calculo

SERIES INFINITAS

SUCESIONES

Una  sucesión es una función cuyo dominio es el conjunto de los números enteros positivos o números naturales (n=1,2,3,…) y cuyo rango son los números reales (elementos de la sucesión).

Notación: La sucesión (o rango de una función) se denota como  [pic 2]ó [pic 3] , donde:

[pic 4] así

[pic 5]

Sucesiones Crecientes o Decrecientes.-

La sucesión es CRECIENTE si [pic 6] y

La sucesión es DECRECIENTE si [pic 7]

Ejemplos:

(1) [pic 8]

[pic 9]  [pic 10]    …..   [pic 11]

[pic 12][pic 13][pic 14]

(2) [pic 15]

[pic 16]

[pic 17][pic 18]

(3) [pic 19][pic 20][pic 21][pic 22][pic 23]

[pic 24][pic 25][pic 26][pic 27][pic 28][pic 29][pic 30]

[pic 31][pic 32][pic 33][pic 34][pic 35]

Sucesiones Monótonas.-

Si una sucesión es creciente o decreciente se llama MONÓTONA, caso contrario es NO MONÓTONA.

Ejemplos:

(1) [pic 36]

[pic 37]

[pic 38]

Como [pic 39]entonces la sucesión [pic 40]es Monótona Creciente.

(2) [pic 41]

[pic 42]

[pic 43]; entonces [pic 44]así la sucesión [pic 45] es Monótona Decreciente.

Sucesiones Acotadas.-

Una sucesión [pic 46] se dice que está ACOTADA si y sólo si tiene una cota superior y una cota inferior.

La sucesión [pic 47]es ACOTADA SUPERIORMENTE si existe una constante M tal que [pic 48] para todo n y es ACOTADA INFERIORMENTE si existe una constante N tal que  [pic 49]para todo n.

Ejemplo: [pic 50]es acotada ya que:

                Cota superior=1,20,…. (N˚ >1)  y la Cota inferior=0,-1,… (N˚<0)  

                [pic 51]

Teorema: Una sucesión monótona acotada es convergente.

Por ejemplo [pic 52]es una sucesión monótona (decreciente) y es acotada, así es una sucesión convergente.

Límite de una sucesión.-

Def.- Una sucesión [pic 53]se dice que tiene límite L si para todo epsilón mayor que cero existe un número entero positivo ([pic 54]) tal que [pic 55]se tiene que [pic 56]. Esto se denota por: [pic 57]

Teorema.- Una sucesión que tiene límite se dice que es CONVERGENTE (¢), caso contrario es DIVERGENTE (DIV).

Ejemplo: Determinar si las siguientes sucesiones son convergentes:

(1) [pic 58]

[pic 59]

Por lo tanto [pic 60]¢

(2) [pic 61]

[pic 62], entonces [pic 63]¢

Propiedades de las Sucesiones.-

Si [pic 64]y [pic 65] son sucesiones convergentes y ‘c’ es una constante entonces:

1. Si una sucesión es convergente, su límite es único
2. La sucesión constante {c} es ¢  y [pic 66]
3. [pic 67]
4. [pic 68]
5. [pic 69]
6. [pic 70]

SERIES INFINITAS

Def.- Dada la sucesión [pic 71]le asociamos la sucesión [pic 72], entonces: [pic 73] se denomina SERIE INFINITA, donde [pic 74], representan los TÉRMINOS DE LA SERIE; mientras que: [pic 75]se denomina n-ésima Suma Parcial y [pic 76]se llama Sucesión de Sumas Parciales de la serie.

Convergencia y Divergencia de Series

Sea [pic 77]una serie infinita y [pic 78]la sucesión de sumas parciales de la serie, entonces:

Si [pic 79]

Ejemplo: Dada la serie infinita [pic 80], encontrar los 3 primeros elementos de [pic 81]y determinar una fórmula para Sn en términos de n.

[pic 82] (término general de la serie)

[pic 83]

(n-ésima suma parcial de la serie)

[pic 84]Sucesión de Sumas Parciales de la serie.

[pic 85], es decir [pic 86] ¢.

Condición Necesaria de Convergencia (C.N.C).-

Si la serie serie [pic 87]es convergente, entonces [pic 88](el reciproco no necesariamente es cierto).

Si [pic 89], entonces la serie [pic 90]es divergente.

Ejemplos: Estudiar la convergencia o divergencia de las siguientes series:

(1) [pic 91]

[pic 92] DIV por C.N.C.

(2) [pic 93]

[pic 94] DIV por C.N.C.

(3) [pic 95]

[pic 96] (no hay suficiente información de la serie [pic 97]usando la C.N.C., hay que usar otro criterio)

Serie Geométrica.-

Def.- La serie dada por: [pic 98] , se llama SERIE GEOMÉTRICA DE RAZÓN ‘r’.

Teorema.- 

    Una serie geométrica de razón ‘r’  [pic 99]

Ejemplos: Estudiar la convergencia o divergencia de las siguientes series:

(1) [pic 100]

donde  [pic 101] entonces: [pic 102]¢ y su suma [pic 103]

(2) [pic 104]

donde  [pic 105] entonces: [pic 106] DIV

(3) [pic 107]

donde  [pic 108] entonces: [pic 109]¢ y su suma [pic 110]

P-Serie.-

Una serie de la forma: [pic 111] se llama P-SERIE, con p>0. Para p=1, la serie[pic 112] es conocida como SERIE ARMÓNICA.

La p-serie [pic 113]

Ejemplos:

(1) [pic 114], p=1, entonces [pic 115] DIV

(2) [pic 116], p=2>1, entonces [pic 117]¢

Serie Telescópica.-

Para encontrar la suma total de una serie[pic 118]se tiene que calcular primero la suma parcial [pic 119]pero no existe un método general para hallar Sn. Entre los pocos casos en que es posible calcular el valor de Sn, siempre y cuando se pueda expresar an de una de las siguientes formas, se encuentra:

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