Series y suceciones.
Banana BroPráctica o problema5 de Enero de 2017
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-¿Cuál es la diferencia entre las situaciones 2, 2a, 2b y las sucesiones 2c y 2d?
La diferencia es que las situaciones 2, 2a y 2b son sucesiones aritméticas, mientras que las sucesiones 2c y 2d son sucesiones geométricas
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-¿Qué diferencia existe entre las sucesiones de los incisos a, b y c, con las sucesiones de los incisos d y e?
Que las sucesiones a, b y c son sucesiones aritméticas, mientras que los incisos d y e son sucesiones geométricas.
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Años (n) | Interés (%) | Monto a invertir ($) | Cantidad que recibe ($) | Operación indicada |
1 | 10% | 5000 | 5500 | 5000(1+10/100)^1 |
2 | 10% | 5000 | 6050 | 5000(1+10/100)^2 |
3 | 10% | 5000 | 6655 | 5000(1+10/100)^3 |
4 | 10% | 5000 | 7320.5 | 5000(1+10/100)^4 |
5 | 10% | 5000 | 8052.55 | 5000(1+10/100)^5 |
6 | 10% | 5000 | 8857.805 | 5000(1+10/100)^6 |
7 | 10% | 5000 | 9743.58550000001 | 5000(1+10/100)^7 |
8 | 10% | 5000 | 10717.94405 | 5000(1+10/100)^8 |
9 | 10% | 5000 | 11789.738455 | 5000(1+10/100)^9 |
10 | 10% | 5000 | 12968.7123005 | 5000(1+10/100)^10 |
-¿Cómo calcula el banco la cantidad que recibirás en un año?
El monto a invertir (5000) multiplicado por el producto de 1 año transcurrido más el interés (10) dividido entre 100, y elevado al año. Es decir 5000(1+10/100) ^1.
-¿Cómo calcula el banco la cantidad que recibirás en un número determinado de años?
El monto a invertir (5000) multiplicado por el producto de 1 año transcurrido más el interés (10) dividido entre 100, y elevado al año elegido. Es decir 5000(1+10/100) ^n.
-¿Cómo se relaciona lo anterior con el tema de series y sucesiones?
Que es una serie por que es constante y además es una sucesión porque se multiplica el anterior término por uno fijo.
-¿Qué es una sucesión?
Es un conjunto ordenado de objetos matemáticos, generalmente números. Cada uno de ellos es denominado término (también elemento o miembro) de la sucesión y al número de elementos ordenados (posiblemente infinitos) se le denomina la longitud de la sucesión. Ejemplo:
a) 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25,...
b) 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49,...
c) - 8, - 4, 0, 4, 8, 12, 16, 20,...
¿Qué es una serie?
Se trata de la suma de los términos de una sucesión. Ejemplo:
a) 3 + 8 + 13 + 18 + 23
b) 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 +...
c) 2 + 4 + 6 + 8 + 10 + 12
-¿Cuáles son las sucesiones finitas?
Son las que se componente de un numero finito de términos. Ejemplo:
- 36, 32, 28, 24, 20.
- 1, 4, 9, 16, 25.
¿Cuáles son las sucesiones infinitas?
Es la que se compone de un número infinito (innumerable) de términos. Ejemplo:
- 3, 9, 27, 81…
- …40, 30, 20, 10, 0.
*Cabe destacar que las sucesiones infinitas presentan puntos suspensivos.
¿Cuál es el comportamiento de una sucesión aritmética?
La diferencia entre dos términos consecutivos es una constante. Ejemplo:
1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25,… la cual tiene por fórmula 3n-2
¿Cuál es el comportamiento de una sucesión geométrica?
El cociente entre dos términos consecutivos es constante. Ejemplo:
2, 4, 8, 32, 64, 128… la cual tiene una fórmula de 2^n
¿Cuál es el enésimo término?
El enésimo término tiene a n como cualquier número positivo que queramos.
¿Cómo se calcula el enésimo de término de una sucesión y de una serie aritmética?
*sucesión aritmética:
1) 5, 7, 9, 11, 13, 15...
Utilizaremos la formula an+b, en la que n es un numero de termino deseado, a es la diferencia entre dos términos, y b se encuentra en el primer termino.
Datos formula operación sustitución
a=2 an+b 2(1)+b=5 2n+3
n=1 2+b=5 2(1)+3=5
b=? b=5-2
b=3
2) 9, 12, 15, 18, 21, 24...
Utilizaremos la formula an+b, en la que n es un numero de termino deseado, a es la diferencia entre dos términos, y b se encuentra en el primer termino.
Datos formula operación sustitución
a=3 an+b 3(1)+b=9 3n+6
n=1 3+b=9 3(1)+6=9
b=? b=9-3
b=6
3) - 3, 1, 5, 9, 13, 17...
Utilizaremos la formula an+b, en la que n es un numero de termino deseado, a es la diferencia entre dos términos, y b se encuentra en el primer termino.
Datos formula operación sustitución
a=4 an+b 4(1)+b=-3 4n-7
n=1 4+b=-3
b= ? b=-3-4
b= -7
*Serie aritmética:
Se suman todos los términos anteriores al enésimo término ∑. Pero antes de hacer la sumatoria usted deberá encontrar la fórmula de la sucesión de la que se deriva la serie.
a) utilizaremos el ejemplo del inciso 1 ( 5+7+9+11+13+15+…) de las sucesiones aritméticas, en el que la fórmula general de 5, 7, 9, 11, 13, 15... Es 2n+3
Si queremos encontrar el enésimo término (el término que deseemos) al que le daremos en este caso el valor de el onceavo término: 2(11)+3= 25, y ¡listo! ya fijamos nuestra meta, ahora habrá que realizar la tarea de sumar todos los términos anteriores:
término | operación | |
1 | 2(1)+3= 5 | |
2 | 2(2)+3=7 | |
3 | 2(3)+3=9 | |
4 | 2(4)+3=11 | |
5 | 2(5)+3=13 | |
6 | 2(6)+3=15 | |
7 | 2(7)+3=17 | |
8 | 2(8)+3=19 | |
9 | 2(9)+3=21 | |
10 | 2(10)+3=23 | |
11 | 2(11)+3=25 | |
total |
Una alternativa a sumar todos los términos anteriores es utilizar la fórmula de n/2(a1+ an ),donde n es el termino deseado dividido entre 2, multiplicando el resultado de sumar el primer termino más el ultimo termino, respectivamente.
...