Cálculo de una integral definida por las sumas de Riemann

Cálculo de una integral definida por las sumas de Riemann

En esta lección te voy a explicar cómo obtener la expresión para calcular una integral definida utilizando las sumas de Riemann.

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Índice de Contenidos [Ocultar]

• 1 Interpretación geométrica de las sumas de Riemann
• 2 Ejemplo de cómo obtener la expresión para calcular una integral por las sumas de Riemann
• 3 Cómo resolver una integral por las sumas de Riemann
• 4 Fórmula de sumatorios para resolver sumas de Riemann
• 5 ¿Necesitas ayuda en matemáticas? ¿Quieres que te explique cualquier duda que te surja?

Interpretación geométrica de las sumas de Riemann

Una integral definida en un intervalo [a,b] nos da el valor del área encerrada entre una función f(x) y el eje x en un intervalo [a,b], siempre que la función sea continua.

Otra forma de calcular el área encerrada debajo de una curva, sería dividiendo el área en rectángulos iguales y sumando el área de cada uno de los rectángulos, aunque este cálculo sería aproximado:

[pic 1]

Si cogemos uno de esos rectángulos:

[pic 2]

La base sería la diferencia de dos valores de x y la altura sería el valor de la función para X=Xi

[pic 3]

El área de cada rectángulo la obtendríamos multiplicando la base por la altura y quedaría:

[pic 4]

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Si los rectángulos los hacemos cada vez más pequeños, el cálculo del área se hace cada vez más exacto

[pic 5]

Y si los rectángulos los hacemos infinitamente pequeños y tenemos infinitos rectángulos, la suma infinita de esos rectángulos sería el área exacta del área encerrada debajo de esa función y sería igual a la integral definida de esa función para un intervalo [a,b]:

[pic 6]

De donde obtenemos la expresión utilizada para resolver integrales definidas por sumas de Riemann, en la que, como hemos visto antes, el área de cada rectángulo sería igual a:

[pic 7]

Donde el valor del incremento de x para un intervalo [a,b] lo definiremos como:

[pic 8]

Y el valor de Xi como:

[pic 9]

Todo esto se entiende mucho más claro con un ejemplo, que es lo que vamos a ver a continuación

Ejemplo de cómo obtener la expresión para calcular una integral por las sumas de Riemann

Obtener la expresión de las sumas de Riemann de la siguiente integral:

[pic 10]

La función en este caso es:

[pic 11]

Para un intervalo [0,3], por tanto a=0 y b=3.

Definimos el incremento de x para ese intervalo:

[pic 12]

Y con esta expresión de incremento de x, calculamos Xi:

[pic 13]Ahora obtenemos la función para X=Xi, sustituyendo la x por Xi en la función original:

[pic 14]

Calculamos el área de cada rectángulo, multiplicando las expresiones obtenidas de  f(Xi) y del incremento de x:

[pic 15]

Y nos queda:

[pic 16]

Por lo que el valor de la integral por sumas de Riemann es:

[pic 17]

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