Sumas De Riemann Y La Integral Definida

Integración

La integral definida

Hasta ahora se ha estudiado a la integral como un concepto abstracto, una serie de números y letras que a nuestro punto de vista no tienen mayor significado que el de una función. Pero la integral es más que eso, se trata de una herramienta a la que se le pueden atribuir verdaderos valores aritméticos y con la cual se puede realmente tener una estimación de algo.

La integral definida se presenta de la misma forma que la integral indefinida, salvo por dos cosa nuevas a las que se llama intervalo de integración.

∫_a^b▒f(x)dx=F(b)-F(a)

Esto significa que primero hay que resolver la integral, con la ayuda de las fórmulas ya conocidas y después darle a la función primitiva los valores de “b” y restarle los valores de “a”.

Para entender cómo funciona esta integral, veamos un poco de su historia.

La sumatoria de Riemann

El área que existe bajo una curva se puede calcular gracias las integrales, pero estas surgieron de un procedimiento al

que llamaron “sumatoria de Riemann” ¿Cómo funcionaba?

Lo primero por entender, fue que Riemann determinó que

una figura amorfa podía dividirse en varias partes iguales, se

dividía a la figura en otras figuras más pequeñas que, a su

vez disponían de una fórmula establecida para calcular el

área que había dentro de ellas. Riemann entonces propuso

el método de la sumatoria.

Supongamos que tenemos un rectángulo dentro de esa figura amorfa. Su área se determina por la base del rectángulo multiplicada por la altura del mismo, de ahí, nace una fórmula del área del rectángulo.

Dicho rectángulo tendría un área dada por la base, que sería igual para todos los otros rectángulos y una altura, que variaría conforme a la posición del rectángulo. Basado en esto Riemann determinó lo siguiente:

Base=∆x=(b-a)/n

Donde “b y a” representan al intervalo cuya área se pretende medir y “n”, representa el número de rectángulos. Con base en esto, Riemann determinó también una fórmula para la altura de modo que:

Altura: x_i=a+∆x_i

Entonces, teniendo en cuenta esto; se determinó que el área de cada rectángulo sería:

Área=f(x_i)∆x

Aunque esa fórmula representaba sólo el área de un rectángulo, de modo que para poder estimar el área de más rectángulos se utilizó lo siguiente.

∑_(i=1)^n▒〖f(x_i)∆x〗

En esta fórmula ya se podía hacer una estimación del área…

Pero una estimación no basta. Cabe recordar que la interpretación correcta de la anterior fórmula es:

Área ≈ ∑_(i=1)^n▒f(x_i )∆x y no Área= ∑_(i=1)^n▒f(x_i )∆x

Esto quiere decir, que el área era una aproximación más que un valor certero; los matemáticos pronto se dieron cuenta de que, pese a que el método de Riemann era muy útil, era a su vez muy impreciso. La solución no tardó en llegar, la lógica de las matemáticas hizo entender a los hombres de ciencia de aquel entonces que la forma de que la suma de Riemann diera valores certeros era hacer los rectángulos tan pequeños que su valor fuera lo más acercado posible al cero, o en un caso ideal, que los rectángulos

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