TORSION

TORSION

En ingeniería, la torsión es la solicitación que se presenta cuando se aplica un momento sobre el eje longitudinal de un elemento constructivo o prisma mecánico, como pueden ser ejes o, en general, elementos donde una dimensión predomina sobre las otras dos, aunque es posible encontrarla en situaciones diversas.

Con la torsión se inicia, por otra parte, el estudio de los problemas en los que el esfuerzo no se distribuye uniformemente dentro de una sección. Aunque la teoría general de este tipo de problemas es complicada, su aplicación es sencilla, y una vez deducidas la formulas no hay más que sustituir en ellas los valores de los datos y nada más.

El procedimiento general que se sigue en todos los casos de distribución no uniforme de esfuerzos se puede resumir en los siguientes pasos:

Del examen de las deformaciones elásticas que produce un determinado tipo de carga y la aplicación de la ley de Hooke, se determinan unas relaciones entre los esfuerzos en los distintos puntos de la sección, de manera que sean compatibles con las deformaciones. Tales relaciones se denominan ecuaciones de compatibilidad.

Aplicando las ecuaciones de equilibrio en el diagrama de cuerpo libre correspondiente a una porción del cuerpo, se obtienen otras relaciones entre los esfuerzos. Dichas relaciones, deducidas de la consideración del equilibrio entre las fuerzas exteriores aplicadas y las fuerzas resistentes interiores en una sección de exploración, se llaman ecuaciones de equilibrio.

Comprobación de que la solución del sistema de ecuaciones de los puntos 1 y 2 satisface las ecuaciones de carga en la superficie del cuerpo. Es decir, se han de verificar las condiciones de frontera impuestas.

HIPOTESIS FUNDAMENTALES

Para deducir las formulas de la torsión se debe establecer una serie de hipótesis que pueden demostrarse matemáticamente, y algunas de ellas comprobarse experimentalmente.

El material es homogéneo.

El material tiene un comportamiento elástico y satisface la ley de Hooke.

Las secciones circulares permanecen circulares después de la torsión.

Las secciones planas permanecen planas y no se abalean después de la torsión.

La proyección sobre una sección transversal de una línea radial de una sección permanece radial después de la torsión.

El árbol está sometido a la acción de pares torsores o torsionantes que actúan en planos perpendiculares a su eje.

Los esfuerzos no sobrepasan el límite de proporcionalidad.

DEMOSTRACION DE LAS FORMULAS DE TORSION

Se aplica un momento torsionante T a los extremos del árbol de la figura.

La generatriz AB inicialmente paralela al eje del cilindro, se tuerce en una hélice AC. Además, el punto B gira un ángulo Ɵ respecto del punto A.

El punto D, ubicado a una distancia ρ del centro, gira un ángulo Ɵ, produciendo una deformación tangencial δ igual al arco DE.

“La distribución de esfuerzos a lo largo de cualquier radio varía linealmente con la distancia al centro de la sección”

Sustituyendo el valor de Gρ/L en la ecuación (c) por su equivalente T /J se obtiene:

t=Tρ/JL

que es la fórmula de la torsión. Para calcular el máximo esfuerzo cortante, que es la expresión más utilizada en la práctica, se sustituye ρ por el radio r del árbol, es decir:

t_max=Tr/J

Eje macizo

Admitiendo un diámetro de la barra d=2R

Se sabe que el momento polar de inercia de un círculo es J=(π.d^4)/32 que sustituyendo resulta.

t_max=((T*d/2))/((π*d^4⁄32))

〖∴ t〗_max=(16*T)/(π*d^3 )

Eje hueco

Este es un caso particular donde:

D=2r

J=((D^4-d^4)/32)* π

Por tanto sustituyendo:

t_max=Tr/J

t_max=(T*(D/2))/(π*(D^4-d^4)/32)

〖∴ t〗_max=(16*T*D)/(π*(D^4-d^4))

En otras aplicaciones prácticas, los árboles utilizan para trasmitir potencia. Del estudio de la dinámica se sabe que la potencia P transmitida por un par constante T Gira a velocidad angular w constante de dónde está dada por

P=Tw

Don W esta medida en radiales por unidad de tiempo. Si el árbol gira una frecuencia f revoluciones por unidad de tiempo, W=2πf y se tiene

P=T2πf

Así, el momento torsionante transmitido puede expresarse como:

∴ T=P/2πf

EJEMPLOS

...