Torsion

TORSIÓN

1.-HIPÓTESIS FUNDAMENTALES:

La torsión, se estudia solo en arboles (se conoce árbol a todo elemento mecánico que tiene la forma de un sólido de revolución y que se utiliza para transmitir par. El árbol de sección circular suele llamarse “eje” o “flecha”) de sección circular, o tubos de pared delgada.

Con la torsión se inicia, por otra parte, el estudio de los problemas en los que el esfuerzo no se atribuye uniformemente dentro de una sección.

El procedimiento general que se sigue en todos los casos de distribución no uniforme de esfuerzos se puede resumir en los siguientes puntos:

Del examen de las informaciones elásticas que produce un determinado tipo de carga, y la aplicación de la ley de Hooke, se determinan unas relaciones entre los esfuerzos en los distintos puntos de la sección, de manera que sean compatibles con las deformaciones.

Tales relaciones se denominan ecuaciones de compatibilidad.

Aplicando las condiciones de equilibrio en el diagrama del cuerpo libre correspondiente a una porción dl cuerpo, se obtienen otras relaciones entre los esfuerzos. Dichas relaciones, deducidas de la consideración del equilibrio entre las fuerzas exteriores aplicadas y las fuerzas resistentes interiores en una sección de exploración, se llaman ecuaciones de equilibrio.

Comprobación de que la solución del sistema de ecuaciones de los puntos 1 y 2 satisface las condiciones de carga en la superficie del cuerpo. Es decir, se han de verificar las condiciones de frontera impuestas.

En la teoría de que la elasticidad se demuestra que si existe una solución que satisface estos tres grupos de ecuaciones, esta solución es única.

Para deducir las formulas de la torsión se debe establecer una serie de hipótesis que pueden demostrarse matemáticamente y algunas de ellas, comprobarse experimentalmente.

Las dos primeras corresponden a secciones circulares.

Las secciones circulares permanecen circulares después de la torsión.

Las secciones planas permanecen planas y no se alabean después de la torsión.

La proyección sobre una sección transversal de una línea radial de una sección permanece radial después de la torsión.

El árbol está sometido a la acción de pares torsores o torsionantes que actúan en planos perpendiculares a su eje.

Los esfuerzos no sobrepasan el límite de proporcionalidad.

2.-DEDUCCIÓN DE LAS FÓRMULAS DE TORSIÓN

En la figura 3-1 se muestran dos proyección de un árbol circular macizo. Al aplicar un momento torsionante T a los extremos del árbol, una generatriz cualquiera, tal como AB, en

La superficie del cilindro, inicialmente recta y paralela al eje, se tuerce formando una hélice AC, al tiempo que la sección en B gira un cierto ángulo θ respecto a la seccion en A. Se puede adquirir una representacion intuitiva de como se forma esta helice de la manera siguiente:

Imaginemos que el arbol esta formado por innumerables << rebanadas >> o porcines eliscoidales muy delgadas, todas ellas perfectamente rigidas y unidad mediante fibras elasticas. La 2 sufrira una rotacion, rebalando sobre la 1 hasta que la fibras elasticas que las unen se deformen y produzcan, al estirarse, un par resiste que equilibre al par aplicado. En este moemento, las “rebanadas” o porciones discoidales 1 y 2 acturana como un conjunto unico y rigido, trasmitiendo el par torsionante a la 3; esta girara hasta que las fibras elasticas que la unen a 2 desarrollen como antes un par resiste igual al par aplicado, y asi sucesivamente, propagandose la deformaciona lo largo de la longitud L del arbol. La helice AC es la linea que une los puntos inciales de referencia de todas las rebanas infinitamente delgadas, puntos que antes de la deformacion estaban sobre AB. Esta descripcion intuitiva de la deformacion por torsion en un arbol es puramente idela, pero la helice que resulta esta perfectamente difinida. En relaidad, todas las rebanadas empiezan a girar al mismo tiempo sobre las anteriores, tan pronto como se aplica el momemnto torsiante, y el angulo total de torsion Ѳ de uno a otro extremo aumenta si el momento de torsión se incrementa.

Consideremos ahora una fibra gira cualquiera a una distancia p del eje del árbol. Por la hipótesis 3 de la sección 3-1, el radio de dicha fibra gira también el mismo ángulo θ, produciéndose una deformación tangencial ȏ igual a DE. La longitud de esta deformación es el arco de círculo de radio p y ángulo Ѳ y viene dado por:

En estas condiciones, la distorsión es:

Y el esfuerzo cortante, según la ley de Hooke,

A fin de expresar θ en las unidades apropiadas (radiantes), T debe estar en N.m y L en m; J por supuesto esta en m^4 y G en N/m^2. Si deseamos expresar θ en grados, multiplicamos el segundo miembro de la ecuación (3-1) por la fracción unitaria, 180 grad/πrad = 57.3 grad/rad

Sustituyendo el valor de G θ/L en la ecuación (c) por su equivalente T/J dado por (3-1) se obtiene

Que es la formula de la torsion. Para calcular el maximo esfuerzo cortnte, que es la expresion mas utilizada en la practica, se sustituye p por el raro r del arblo, es decir:

Observese que al haber aplicado la ley de Hooke en la deduccion de estas formulas, los esfuerzos no deben sobrepasar el limite de proporcionalidad. Ademas, conviene insistir en que estas expresiones solo son validas en el caso de seccion circulares, llenas o huecas.

En la figura 3-3 se muestran los valores del momento polar de incercia para secciones circulares. Sustituyendo estos valores en la formula de torsion, esta adquiere las siguientes formas :

En muchas aplicaciones practicas, los arboles se utilizan para trasmitir potencia. Del estudio de la dinamica se sabe que la potencia ℘ tramsitida por un par constante T que gira a velocidad angular constante ω esta por

Donde ω esta medida en radianes por unidad de tiempo. Si el arbol gira a una frecuencia de f evoluciones

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