TORSIÓN

TORSIÓN

Introducción e hipótesis fundamentales

Previo a la introducción: Es común que se emplee indistintamente la palabra eje o árbol como si fuesen sinónimos, pero existe una diferencia entre ambos:

Eje: Elemento sobre el que se apoya una pieza giratoria, por lo tanto su única función es ser soporte y no se ve sometido a esfuerzos de torsión.

Fig. 1: Eje

Árbol: Es un elemento giratorio cuyo fin es transmitir potencia mecánica mediante su giro, por lo que está sometido a esfuerzos de flexión y de torsión. Además, a diferencia de los ejes, el árbol gira simultáneamente con los elementos montados sobre él.

Fig. 2: Árbol.

1. Torsión:

La torsión, es un tipo de esfuerzo que no se distribuye uniformemente dentro de la sección y que hace que el objeto tienda a retorcerse o a producir un giro en su eje longitudinal (Pytel- Singer, Resistencia de materiales, p. 60).

Fig. 1: Torsión de un objeto.

1. El procedimiento general que siguen todos los casos en los que el esfuerzo no de distribuye uniformemente se resumen en los siguientes pasos:Del examen de las deformaciones elásticas que se producen en un determinado tipo de carga y las aplicaciones de la ley Hooke, se determinan unas relaciones entre los esfuerzos en distintos puntos de la sección de manera que sean compatibles con la deformación y que se denominan ecuaciones de compatibilidad.

2. Aplicando las ecuaciones de equilibrio en el diagrama de sólido aislado se determinan otras relaciones que se deducen de la consideración del equilibrio entre fuerzas exteriores aplicada y las fuerzas interiores resistentes en la sección de exploración. Estas ecuaciones de denominan ecuaciones de equilibrio.

3. Se debe verificar que la solución de las ecuaciones es satisfactoria a las condiciones de carga en la superficie del cuerpo.

Para la deducción de fórmulas en el estudio de la torsión, nos basamos en las siguientes hipótesis:

Las secciones circulares permanecen circulares después de la torsión.

Las secciones planas permanecen planas y no se alabean.

El eje macizo se encuentra sometido a pares de torsión perpendiculares al eje.

Los esfuerzos no sobrepasan el límite de proporcionalidad.

En árboles circulares, el esfuerzo no se distribuye de forma uniforme en una sección.

2. Deducción de fórmulas:

El momento polar de inercia, es una cantidad utilizada para predecir en el objeto habilidad para resistir la torsión, en los objetos (o segmentos de los objetos) con un invariante circular de sección transversal y sin deformaciones importantes o fuera del plano de deformaciones su simbología es .

Fig. 4: Momentos polares de inercia

Eje macizo:

Eje hueco:

Cuando existe torsión sobre un elemento, provoca un cambio de forma, pero no de longitud. Este cambio de forma se cuantifica mediante el ángulo teta, o ángulo de distorsión (Apuntes de resistencia de materiales aplicada, p. 1).

Fig. 2: Cambio de forma en un objeto.

El ángulo de distorsión, depende del momento torsor aplicado, la geometría del eje circular (la longitud de la barra y el momento polar de inercia de la sección trasversal de la misma) y del material del cual sea elaborado (módulo de rigidez cortante).

Fig. 3: Deformación de un árbol circular

Consideremos una barra recta, de sección circular, empotrada en un extremo, y que en el otro se le aplique un par de fuerzas que tienda a hacerla girar alrededor de su eje longitudinal. Como consecuencia de este giro la barra experimenta una deformación, llamada torsión, que se evidencia en el hecho de que una línea cualquiera que siga la dirección de una generatriz1 de la barra gira un pequeño ángulo con respecto al extremo empotrado.

El momento del par de fuerzas aplicado se conoce como momento torsor.

Tan pronto se aplica el momento torsionante, y el ángulo total de torsión  de uno a otro extremo aumenta si el momento de torsión aumenta.

Si se considera una fibra a una distancia ρ del eje del árbol, la fibra girará un ángulo θ, considerando las suposiciones fundamentales expuestas anteriormente, se produce una deformación tangencial DE.

Haciendo las mismas consideraciones se obtiene la distorsión:

A continuación se aplica la ley de Hooke, para esfuerzos cortantes:

A esta ecuación se la denomina ecuación de compatibilidad, ya que los esfuerzos expresados por ella son compatibles con las deformaciones elásticas.

La expresión anterior se suele conocer como la ecuación de compatibilidad, ya que los esfuerzos expresados son compatibles con las deformaciones elásticas.

Un elemento diferencial de área de la sección MN, presenta una fuerza resistente dada por:

Para que se cumplan las condiciones de equilibrio estático, se llega a la siguiente relación:

Sustituyendo  por su valor en la ecuación de compatibilidad:

Como el momento de inercia polar es = J, tenemos que:

También se puede escribir esto de forma:

El esfuerzo cortante se logra obtener remplazando G/ L por su equivalente T/J.

Al sustituir por el radio del árbol tenemos:

Estas ecuaciones son válidas para secciones macizas y huecas en las que tenemos:

Eje macizo:

Eje hueco:

Como la aplicación de los arboles es transmitir potencia está dada por la ecuación:

Donde es una constante

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