TRANSFERENCIA DE CALOR BONUS PRIMER PARCIAL

TRANSFERENCIA DE CALOR

BONUS PRIMER PARCIAL

Profesor:

ANDRÉS COLORADO

POR:

MANUEL FELIPE BUSTAMANTE TABARES

[pic 1]

Facultad de ingeniería

Medellín

2016

4.46 Derive las ecuaciones en diferencias finitas nodales para las siguientes configuraciones.

a) Nodo (m,n) sobre una frontera diagonal sujeta a convección con un fluido a  y un coeficiente h, asuma [pic 2][pic 3]

[pic 4]

Primero que todo se debe asumir que hay estado estable, la conducción es en dos dimensiones y todas las propiedades son constantes.

[pic 5]

Para el volumen de control mostrado en la figura, se debe tener en cuenta que la diagonal, valdría  según el teorema de Pitágoras. Q1 y Q2 están asociados a la conducción en y en x respectivamente; y Qc, el calor por convección que entra al volumen de control. Haciendo un balace de energía sobre este elemento, en el cual se encuentra el nodo (m,n), se encuentra: [pic 6]

[pic 7]

Esto teniendo las consideraciones mencionadas anteriormente. Ahora:

[pic 8]

Por lo que el balance quedaría de la siguiente forma:

[pic 9]

Esto se calcula con una unidad de profundidad, ahora como  se reemplazará, y dividirá por K todos los términos, y se tiene.[pic 10]

[pic 11]

Haciendo propiedad distributiva,

[pic 12]

b) Nodo m,m en la punta de una herramienta con una cara expuesta a un flux de calor constante  y la cara diagonal expuesta a un enfriamiento por convección con el fluido a  y un coeficiente h, asuma .[pic 13][pic 14][pic 15]

[pic 16]

Para resolver este literal, se deben hacer las mismas suposiciones hechas en el literal anterior, y construir un diferencial en el nodo m,n así:

[pic 17]

De nuevo se debe hacer un balance de energía en este volumen de control

[pic 18]

Asumiendo una profundidad de una unidad, y sabiendo que se debe multiplicar el flux de calor por el área sobre el que está incidiendo se tiene:

[pic 19]

Nótese que el volumen de control tomado debe llegar hasta  por tanto la diagonal tiene un valor de  .[pic 20][pic 21]

Tomando  , y dividiendo cada término por  y reagrupando de manera similar al literal anterior.[pic 22][pic 23]

[pic 24]

Se debe tener en cuenta que en un problema con valores, las temperaturas nos darán las direcciones en que va el calor.

[pic 25]

1. Para el nodo número 2 se tiene transferencia de calor por conducción en dos dimensiones, además se tienes calor por convección, expresados en el siguiente balance de energía.

[pic 26]

De esta expresión se obtiene una ecuación con una incógnita que es T2, despejando se tiene que:

[pic 27]

Nótese que el volumen de control tomado para este nodo, se hace análogo al anterior punto, por esto aparece , como en este ejercicio se tienen valores reemplazando se encuentra la temperatura 2.[pic 28]

[pic 29]

Para encontrar la temperatura en 4, se analiza un volumen de control alrededor del nodo 4, y haciendo un balance alrededor de este queda:

[pic 30]

Y despejando T4 de este balance:

...