Taller #2 – Ecuaciones lineales e Interpolación

Programación y métodos numéricos para ingeniería

Taller #2 – Ecuaciones lineales e Interpolación  

Universidad Nacional Abierta y a Distancia

Nombres

28 de marzo de 2020

Tabla de Contenidos

 I.     Introducción e información general        1

 II.    Desarrollo de los ejercicios asignados         2

 III.   Conclusiones         5

 IV.   Referencias         6

1. Introducción

Los métodos numéricos constituyen técnicas mediante las cuales es posible formular problemas matemáticos, de tal forma que puedan resolverse utilizando operaciones aritméticas. Aunque existen muchos tipos de métodos numéricos, éstos comparten una característica común: invariablemente requieren de un buen número de tediosos cálculos aritméticos. No es raro que con el desarrollo de computadoras digitales eficientes y rápidas, el papel de los métodos numéricos en la solución de problemas en ingeniería haya aumentado de forma considerable en los últimos años.

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En este documento se desarrollarán ejercicios en los que se aplicarán                                                   conceptos para la solución de Ecuaciones lineales y la interpolación para un grupo de datos dado, entre ellos:

• Eliminación Gaussiana simple.
•  Eliminación de Gauss – Jordán.  
• Gauss – Seidel.  
• Jacobi.
• S.O.R.
• Interpolación de Lagrange.
• Interpolación de Diferencias Divididas de Newton.
• Polinomio de interpolación de Diferencias Finitas de Newton.

1. DESARROLLO DE LOS EJERCICIOS ASIGNADOS

1. Tema: Solución de sistemas de ecuaciones lineales  

Problema 5:

[pic 1]

Ejercicio 1: Determine si el sistema de ecuaciones lineales tiene o no solución. ¿Si la tiene es única? Realice una breve explicación basándose en la teoría revisada.

Antes de comenzar con el análisis del problema vamos a introducir dos conceptos previos.

• Rango: El número de vectores linealmente independientes de un conjunto dado recibe el nombre de rango o característica del conjunto.
•  Rango de una matriz: Una matriz de tamaño  se puede ver como un conjunto de  vectores columna cada uno con m componentes (o bien  vectores fila de  componentes cada uno). En estas condiciones puede hablarse del rango de una matriz. Donde el rango de una matriz esta dado por el número máximo de vectores columna o vectores fila, linealmente independientes. [pic 2][pic 3][pic 4][pic 5]

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Un sistema de  ecuaciones lineales en  incógnitas, tiene la forma general:[pic 6][pic 7]

[pic 8]

Con la notación matricial se puede escribir la ecuación anterior como:

[pic 9]

Lo cual expresa el producto matricial  , donde  corresponde a la matriz de coeficientes,  el valor de la incógnita y  el vector de términos independientes. [pic 10][pic 11][pic 12][pic 13]

A continuación, se define la matriz aumentada  formada con los elementos de la matriz coeficiente  y, los del vector .[pic 14][pic 15][pic 16]

[pic 17]

Si el rango de la matriz coeficiente y de la matriz aumentada  son iguales, se dice que el sistema es consistente. Si esto no ocurre, el sistema es inconsistente (por lo tanto, un sistema homogéneo siempre es consistente). Un sistema inconsistente no tiene solución, mientras que uno consistente tiene una solución única o un número infinito de soluciones, según como sea el rango de  en comparación con el número de incógnitas . Si el rango de A es igual al número de incógnitas, la solución es única; si el rango de  es menor que dicho número, hay un número infinito de soluciones.[pic 18][pic 19][pic 20][pic 21][pic 22]

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Ahora nos dirigiremos directamente al problema de sistema de ecuaciones lineales planteado anteriormente

• Notación matricial

[pic 23]

• Matriz aumentada

[pic 24]

Dado que en cada una de las ecuaciones hacen falta variables es fácil ver la independencia lineal entre los vectores dado que ninguna combinación lineal entre ellos podría generar la variable con coeficiente cero, entonces podemos pensar que el rango de la matriz y la matriz de coeficientes es el mismo, es decir 4. Además, que el rango de la matriz de coeficientes es igual al número de incógnitas. Por lo tanto, el sistema tiene una única solución. Lo cual se verá rigurosamente cuando desarrollemos el sistema con los métodos propuestos.  

Ejercicio 2: Resolver el SEL por cada uno de los esquemas de:

Eliminación Gaussiana simple

Eliminación de Gauss - Jordán.  

Gauss – Seidel

Jacobi

S.O.R.

1. Eliminación gaussiana simple: Este método consiste en la triangularización de las ecuaciones haciendo operaciones básicas entre fijas. Y luego cuando en la última ecuación se pueda despejar el valor de la variable  donde  es el numero de variables del sistema, se hará una sustitución regresiva para encontrar el valor de las variables faltantes. Vale resaltar que la triangularización se puede efectuar sobre la matriz aumentada con el fin de no usar las variables [pic 25][pic 26][pic 27]

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Para nuestro ejercicio el desarrollo es el siguiente:

[pic 28]

[pic 29]

 [pic 30][pic 31]

[pic 32]

Después de lograr una triangulación correcta procedemos a efectuar una sustitución regresiva. Es decir:

[pic 33]

[pic 34]

Despejando tenemos que su valor es  que reemplazando en la ecuación  tenemos  de donde obtenemos  , repitiendo el proceso tenemos que  , . Para finalmente ,  [pic 35][pic 36][pic 37][pic 38][pic 39][pic 40][pic 41][pic 42][pic 43]

1. Eliminación Gauss – Jordán: Es posible extender el método anterior, de modo que las ecuaciones se reduzcan a una forma en que la matriz coeficiente del sistema sea diagonal y ya no se requiera la sustitución regresiva. A este método se le conoce como Gauss-Jordán.

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Podemos comenzar a aplicar el método usando un resultado del método anterior.

[pic 44]

Desde aquí continuaremos para lograr la diagonalización de la matriz.

[pic 45]

[pic 46]

[pic 47]

[pic 48]

   Simplificando tenemos:

[pic 49]

[pic 50]

Es decir,

[pic 51]

Despejando

[pic 52]

1. Métodos iterativos:

 Los métodos iterativos más sencillos y conocidos son una generalización del método de punto fijo, estudiado anteriormente. Se puede aplicar la misma técnica a fin de elaborar métodos para la solución de , de la siguiente manera: [pic 53]

Se parte de  para obtener la ecuación  ,ecuación vectorial correspondiente a . Se busca ahora una matriz  y un vector , de modo que la ecuación vectorial   sea sólo un arreglo de la ecuación  ,es decir, que la solución de una sea también la solución de la otra. La ecuación correspondería a [pic 54][pic 55][pic 56][pic 57][pic 58][pic 59][pic 60][pic 61]

 En seguida se propone un vector inicial  como primera aproximación al vector solución . Luego, se calcula con la ecuación     la sucesión vectorial  de la siguiente manera:  [pic 62][pic 63][pic 64][pic 65][pic 66]

Donde  (3.84) Para que la sucesión  converja al vector solución  es necesario que eventualmente ,  (los componentes del vector  ) se aproximen tanto a  ,  (los componentes correspondientes a ), que todas las diferencias  ,  sean menores que un valor pequeño previamente fijado, y que se conserven menores para todos los vectores siguientes de la iteración; es decir[pic 67][pic 68][pic 69][pic 70][pic 71][pic 72][pic 73][pic 74][pic 75][pic 76][pic 77]

[pic 78]

La forma como se llega a la ecuación  define el algoritmo y su convergencia. Dado el sistema, la manera más sencilla es despejar  de la primera ecuación,   de la segunda, y así sucesivamente. Para ello, es necesario que todos los elementos de la diagonal principal de A, por razones obvias, sean distintos de cero.[pic 79][pic 80][pic 81][pic 82]

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