Teoria De Errores

Comportamiento Mecánico de los Materiales Antonio Miguel Posadas Chinchilla

Ingeniería de Materiales Departamento de Física Aplicada

Facultad de Ciencias Experimentales – Universidad de Almería

Determinación de errores y tratamiento de datos 1

DETERMINACIÓN DE ERRORES Y TRATAMIENTO DE DATOS

I. Introducción.

II. Error en una medida: determinación y expresión de errores.

1. Clasificación de los errores.

2. Exactitud, precisión y sensibilidad.

3. Error absoluto y error relativo.

4. Expresión del error.

5. Determinación de errores en medidas directas.

6. Determinación de errores en medidas indirectas.

III. Tratamiento de datos.

1. El método de los mínimos cuadrados.

2. Construcción de gráficas.

3. Interpolación en tablas.

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I. INTRODUCCIÓN

Las medidas experimentales están afectadas de cierta imprecisión en sus valores

debido a las imperfecciones del aparato de medida o a las limitaciones de nuestros

sentidos en el caso de que sean ellos los que deben registrar la información. El

valor de las magnitudes físicas se obtiene experimentalmente efectuando una

medida; ésta puede ser directa sobre la magnitud en cuestión o indirecta, es decir,

obtenida por medio de los valores medidos de otras magnitudes ligadas con la

magnitud problema mediante una fórmula física. Así pues, resulta imposible llegar a

conocer el valor exacto de ninguna magnitud, ya que los medios experimentales de

comparación con el patrón correspondiente en las medidas directas viene siempre

afectado de imprecisiones inevitables. El problema es establecer los límites dentro

de los cuales se encuentra dicho valor.

El principal objetivo de estos apuntes es presentar al estudiante algunos conceptos

básicos de la denominada Teoría de Errores; con ello, se pretende que el alumno se

desenvuelva con agilidad en las diversas prácticas, permitiéndole reconocer los

factores que influyen en el error, así como el cálculo del mismo. Además, se

ofrecen algunas nociones sobre tratamiento de datos que incluye el ajuste de

rectas mediante el método de mínimos cuadrados.

II. ERROR EN UNA MEDIDA Y DETERMINACIÓN Y EXPRESIÓN DE

ERRORES.

1. Clasificación de los errores

El error se define como la diferencia entre el valor verdadero y el obtenido

experimentalmente. Los errores no siguen una ley determinada y su origen est en

múltiples causas. Atendiendo a las causas que los producen, los errores se pueden

clasificar en dos grandes grupos: errores sistemáticos y errores accidentales.

Los errores sistemáticos son aquellos que permanecen constantes a lo largo de

todo el proceso de medida y, por tanto, afectan a todas las mediciones de un modo

definido y es el mismo para todas ellas; se pueden subclasificar en errores

instrumentales, personales o por la elección del método. Los errores

instrumentales son los debidos al aparato de medida; por ejemplo, un error de

calibrado generaría este tipo de imprecisión. Los errores personales se deben a las

limitaciones propias del experimentador; así, una persona con algún problema visual

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puede cometer errores sistemáticos en la toma de ciertos datos. Finalmente, el

error en la elección del método se presenta cuando se lleva a cabo la determinación

de una medida mediante un m‚todo que no es idóneo para tal fin; por ejemplo, la

medida del tiempo de caída de un objeto por mera inspección visual.

Los errores accidentales son aquellos que se producen en las variaciones que

pueden darse entre observaciones sucesivas realizadas por un mismo operador.

Estas variaciones no son reproducibles de una medición a otra y su valor es

diferente para cada medida. Las causas de estos errores son incontrolables para el

observador. Los errores accidentales son en su mayoría de magnitud muy pequeña y

para un gran número de mediciones se obtienen tantas desviaciones positivas como

negativas. Aunque con los errores accidentales no se pueden hacer correcciones

para obtener valores más concordantes con el real, si se emplean métodos

estadísticos se puede llegar a algunas conclusiones relativas al valor más probable

en un conjunto de mediciones.

2. Exactitud, precisión y sensibilidad.

La exactitud es el grado de concordancia entre el valor verdadero y el

experimental. Un aparato es exacto si las medidas realizadas con él son todas muy

próximas al valor "verdadero" de la magnitud medida.

La precisión es el grado de concordancia entre una medida y otras de la misma

magnitud realizadas en condiciones sensiblemente iguales. Un aparato es preciso

cuando la diferencia entre diferentes medidas de una misma magnitud sean muy

pequeñas.

La sensibilidad de un aparato es el valor mínimo de la magnitud que es capaz de

medir. Así, si la sensibilidad de una balanza es de 5 mg significa que para masas

inferiores a la citada la balanza no presenta ninguna desviación. Normalmente, se

admite que la sensibilidad de un aparato viene indicada por el valor de la división

m s pequeña de la escala de medida.

La exactitud implica normalmente precisión, pero la afirmación inversa no es cierta,

ya que pueden existir aparatos muy precisos que posean poca exactitud debido a

los errores sistemáticos tales como error de cero, etc. En general, se puede decir

que es más fácil conocer la precisión de un aparato que su exactitud.

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3. Error absoluto y error relativo

El error absoluto en una medida x de determinada magnitud es la diferencia entre

dicho valor y el valor verdadero de la medida; se notará por Δx y, por tanto, su

expresión es:

Δx = x − x0

donde x0 representa el valor verdadero de la medida. El error absoluto cuantifica

la desviación en términos absolutos respecto al valor verdadero. No obstante, en

ocasiones es más interesante resaltar la importancia relativa de esa desviación. Por

ello, se define el error relativo como el cociente entre el error absoluto y el valor

verdadero; notándolo por ε su expresión es:

0 x

Δx

ε =

y suele expresarse porcentualmente sin más que multiplicar por 100.

4. Expresión del error

En Física, presentar una medida experimental significa dar el valor de dicha

cantidad y expresar cual es su error; no tiene sentido establecer un determinado

valor si no se acota debidamente el mismo. Así, la expresión correcta de una

medida debe ser:

x ± Δx

Dado el significado de cota de imprecisión que tiene el error absoluto, éste

siempre se expresa con una única cifra significativa, es decir, con el primer dígito

comenzando por la izquierda distinto de cero; este número ser redondeado por

exceso en una unidad si la segunda cifra significativa es 5 o mayor de 5. Este

convenio de expresión del error encuentra dos excepciones: que la primera cifra

significativa sea un 1 o que siendo la primera un 2, la segunda no llega 5; en estos

casos, el error vendrá dado por las dos primeras cifras significativas,

procediéndose al redondeo de la segunda en el mismo sentido que ya se ha

explicado.

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Hay que resaltar que el valor de una magnitud debe tener el mismo orden decimal

que el error absoluto. Esto es razonable dado que no tendría sentido encontrar el

valor de una magnitud con un grado de precisión superior al del error de la medida.

Así, no podemos medir décimas de milímetro con una regla cuya sensibilidad es del

milímetro. Finalmente, se acepta como criterio que si el valor de una medida es

leído de una tabla u otro lugar, sin indicación de su error, se tomará como error

una unidad del orden de la última cifra con que se expresa; por ejemplo, si en una

tabla aparece que el valor de una medida es de 0.056 sin ninguna indicación de

error, se conviene en que el mismo es de ±0.001. En la siguiente tabla se dan

distintos ejemplos.

Valores incorrectos Valores correctos

3.418 ±

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