Teori´a de grupos

TEORI´A DE GRUPOS

1. Generalidades

Un grupo G es un conjunto de elementos sobre los cuales hay definida una ley de

composici´on, · : G × G → G, que es asociativa, con neutro e inverso, es decir,

a) f · (g · h) = (f · g) · h, ∀ f, g, h ∈ G,

b) ∃e ∈ G, llamado elemento neutro o identidad, que satisface e · g = g · e =

g,∀g ∈ G,

c) ∀ g ∈ G, ∃ g−1 ∈ G, llamado su inversa, que satisface g · g−1 = g−1 · g = e.

Evidentemente, si f · g = h · g entonces f = h. En efecto, (f · g) · g−1 = f · (g · g−1) =

(h · g) · g−1 = h · (g · g−1) ⇒ f = g.

Similarmente, se puede demostrar que el neutro y el inverso de cualquier elemento son

u´nicos. Por ejemplo, si g · f = e ⇒ g−1 · (g · f) = (g−1 · g) · f = e · f = g−1 · e ⇒ f = g−1.

En consecuencia, (f ·g)−1 = g−1 ·f−1, puesto que (f ·g)·(g−1 ·f−1) = f ·(g ·g−1)·f−1 =

f · f−1 = e.

En general, la ley de composici´on no es conmutativa: f · g ̸= g · f. Un grupo G para

el cual f · g = g · f, ∀ f, g ∈ G se dice Abeliano.

Ejemplos:

el grupo aditivo de los enteros respecto de la operaci´on de suma usual, Z;

el conjunto de los racionales no nulos, Q\{0}, respecto de la operaci´on usual de

multiplicacio´n;

el conjunto {1, −1} respecto de la operaci´on de multiplicacio´n de reales;

el conjunto de las rotaciones de un cuerpo.

El orden de un grupo es el nu´mero de elementos que contiene. El orden puede finito

o infinito.

2. Grupo de permutaciones

Consideremos una permutacio´n de cinco elementos,

(2.1) {a1, a2, a3, a4, a5} → {a2, a3, a1, a5, a4} .

Independientemente de la naturaleza de esos elementos, esta operaci´on puede ser repre-

sentada por el siguiente cuadro de nu´meros que indica, sobre cada columna, la posici´on

inicial y final de un elemento,

(2.2) σ =

(

1 2 3 4 5

3 1 2 5 4

)

≡

(

2 3 1 5 4

1 2 3 4 5

)

Teorı´a de grupos 5

(o bien, con ide´ntico significado, por cualquier otro cuadro que difiera de los anteriores

en una permutacio´n de sus columnas).

La operaci´on de composici´on de σ con otra permutacio´n

(2.3) σ′ =

(

1 2 3 4 5

5 3 1 2 4

)

se define por

(2.4) σ′ · σ =

(

1 2 3 4 5

5 3 1 2 4

)

·

(

2 3 1 5 4

1 2 3 4 5

)

:=

(

2 3 1 5 4

5 3 1 2 4

)

.

Esta operaci´on satisface los axiomas de grupo. En efecto, puede constatarse que esa

operaci´on es asociativa, que el elemento neutro est´a dado por

(2.5) e =

(

1 2 3 4 5

1 2 3 4 5

)

y que, por ejemplo, la inversa de σ en (2.2) est´a dada por el mismo cuadro de nu´meros

con sus filas intercambiadas,

(2.6) σ−1 =

(

3 1 2 5 4

1 2 3 4 5

)

.

Este grupo es no Abeliano, como surge de verificar que σ · σ′ ̸= σ′ · σ.

Generalizando esas definiciones, resulta que el conjunto de las permutaciones de p

elementos se estructura como un grupo (no Abeliano), denotado por Sp.

Consideremos la permutacio´n τ ∈ S9

(2.7) τ =

(

1 2 3 4 5 6 7 8 9

4 3 9 6 1 7 5 8 2

)

.

Ella puede ser descompuesta en las permutaciones cı´clicas independientes

(2.8) τ ≡







1 → 4 → 6 → 7 → 5 → 1,

2 → 3 → 9 → 2,

8 → 8.

N´otese que cada ciclo involucra a un cierto nu´mero de elementos que no aparece en los

dem´as ciclos.

La permutacio´n

...