Teoría de Colas

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Teoría de Colas

Profesor:                                                                                                              Alumna:

Gersson Faneite                                                         Yorgelis Cordero CI, 27556631

EJERCICIO 1. Un solo servidor y cola finita:

El ensamble final de los generadores eléctricos en ELECARGA se realiza siguiendo una Distribución de Poisson a razón de 10 generadores por hora. Luego los generadores son transportados por una banda al departamento de inspección para su revisión final. La banda puede transportar un máximo de 7 generadores. Un sensor inteligente detiene al instante la banda una vez que se llena, lo que evita que el departamento de ensamble final arme más unidades hasta que haya espacio disponible. El tiempo para inspeccionar los generadores es exponencial, con media de 15 minutos.

Primero identificamos los datos y el modelo y como nos dice que la llegada sigue una distribución de Poisson y el servicio es exponencial entonces cumple el M/M y nos quedaría  de la siguiente forma

Modelo:   M/M/1: GD/N/∞[pic 4][pic 5][pic 6][pic 7]

Rho

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Se pide determinar lo siguiente:

a)        Probabilidad de que el departamento de ensamble final detenga la producción.

 Para encontrar esta probabilidad usaremos la formula [pic 9]

 Entonces decimos que la probabilidad de que se detenga la producción es de 60%[pic 10]

b)        Promedio de generadores sobre la banda transportadora.

Usaremos las formulas   donde [pic 11][pic 12]

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La longitud del sistema (LS)  son los que están en la banda transportadora o en espera (LQ) más la cantidad de los que están en servicio que en este caso es 1 entonces decimos

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Entonces tenemos que LQ= 6,33 es la longitud de cantidad de generadores esperados en la cola.

c)        El ingeniero de producción afirma que las interrupciones en el departamento de ensamble pueden reducirse si se incrementa la capacidad de la banda. De hecho, el ingeniero afirma que la capacidad de la banda puede incrementarse al punto en que el departamento de ensamble opere 90% del tiempo sin interrupciones.  ¿Es justificable tal afirmación?

N=C+1

Si la capacidad de la banda es 7 entonces el sistema funcionara si la probabilidad de los elementos que encontremos es menor o igual a esa capacidad de la banda   [pic 15]

Entonces usaremos la formula , como se desconoce la longitud de la banda que hemos dicho que es igual a C, sustituiremos la N por C+1  y nos quedaría así, Ahora bien como estamos buscando la suma de n elementos nos quedaría así  y esto es igual a decir ,  cancelemos los términos semejantes y la formula final que usaremos nos queda de esta manera ,[pic 16][pic 17][pic 18][pic 19][pic 20]

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EJERCICIO 2. Varios servidores y cola finita:

Cierta estación de gasolina cuenta con tres (3) surtidores. Debido a problemas de espacio solo permite hasta 5 vehículos en cola antes de que el cliente pueda ser atendido, es decir; si llega un nuevo cliente solicitando servicio y no hay espacio en la cola, este se retira en busca de otra estación. El tiempo entre llegadas de clientes a la estación sigue una Distribución de Poisson, con una media de 2,5 minutos. El tiempo para completar el servicio es exponencial con una media de 12,5 minutos.

Primero identificamos los datos y el modelo y como nos dice que la llegada sigue una distribución de Poisson y el servicio es exponencial entonces cumple el M/M y nos quedaría  de la siguiente forma  Modelo: M/M/3: GD/8/∞[pic 26]

Ahora hallaremos , y como tenemos que  usaremos la formula [pic 27][pic 28]

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Y decimos que [pic 31]

Se pide determinar lo siguiente:

1. Probabilidad de que los surtidores estén ociosos.

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b)        Porcentaje de clientes que buscarán servicio en otra parte.

Aplicamos la formula ; [pic 34]

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Entonces la probabilidad de que busquen servicio en otra parte es de 89,38%

c)        Porcentaje de tiempo que solo un surtidor esté ocupado.

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1,668% de Tiempo que un solo servidor este ocupado.

d)        Porcentaje de utilización de los tres surtidores.

Para hallar e porcentaje debemos encontrar LS y se dice  que por lo que procedemos obtener LQ  mediante  la siguiente formulación[pic 38][pic 37]

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Ahora tenemos que  [pic 41]

El número de servidores usados será [pic 42]

e)        Probabilidad de que un cliente que recién llega, encuentre un lugar en la cola.

Usaremos la formula  para P3+P4+P5+P6+P7[pic 43]

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Pn= 0,0695+0,231+0,193+0,321+0,536= 1,350

La probabilidad es de 1,35%

f)        Numero esperado de clientes en la cola.

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g)        Numero esperado de clientes en el sistema.

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Cantidad de Clientes en el sistema  [pic 52]

EJERCICIO 3. Simulación de un problema de colas:

Los clientes llegan al azar a una oficina de correos atendida por tres empleados con media de 5 minutos. El tiempo que un empleado pasa con un cliente es exponencial con media de 10 minutos. Todos los clientes que llegan hacen cola y esperan al primer empleado libre disponible. Ejecute un modelo de simulación del sistema durante 480 minutos.

Para determinar lo siguiente:

1. El promedio de clientes que esperan en la cola.
2. El uso promedio de los empleados.

Primero:

En este sistema  se tiene que los clientes llegan cada 5 minutos en promedio, es decir que en promedio llegan 12 clientes por hora (60/5=12), cada empleado tarda en atender un cliente un promedio de 10 minutos es decir, que la capacidad de servicio es de 6 clientes por hora (60/10=6). La Simulación debe tener una duración de 480 minutos es decir 8 horas (480/60=8), en las que se atenderán 96 clientes (12*8=96).

Datos:

Llegada= 12clientes/hora

Capacidad de servicio= 6 clientes/hora

Duración de la simulación =8 horas

Cantidad total de clientes atendidos = 96 clientes

Para simular el comportamiento de este sistema lo primero que haremos es abrir una hoja en Excel en la que crearemos una fila con lo siguiente:

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Ahora la columna Clientes la enumeraremos del 1 al 96 para terminar la simulación alrededor de las 8 horas (480 minutos) pedidas en el enunciado.[pic 54][pic 55]

Segundo:

-Tiempo entre llegadas: usaremos la formula  menos logaritmo natural de, 1 menos la función aleatorio todo eso entre la llegada (que en  este caso es de 12 clientes por hora) multiplicado por 60 (para obtener los resultados en minutos) = -LN (1-ALEATORIO ())/12*60

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