Teoría de el error

1. TEORÍA DEL ERROR

Los métodos numéricos deben ser lo suficientemente exactos o sin sesgo para satisfacer los requisitos de un problema particular de ingeniería. También deben ser lo suficientemente preciso para ser adecuados al diseño de la ingeniería.

En estas notas se usara el término error para representar tanto la inexactitud como la imprecisión en los cálculos numéricos en las imprecisiones. Con dichos conceptos como antecedentes, ahora analizaremos los factores que contribuyen al error.

1. TIPO DE ERRORES

1. EXPERIMENTALES: Proviene de los datos o equivocaciones aritméticas en el cálculo manual.
2. DE TRUNCAMIENTO (CORTE): Representa la diferencia entre una formulación matemática exacta de un problema y la aproximación dada por un método numérico.
3. REDONDEO: Se debe a que una máquina sólo puede representar cantidades con un número finito de dígitos.

Existen dos maneras de representarlos:

1. Punto fijo: Los números se representan con un número fijo de cifras decimales. Ej. 62.358, 0.013.
2. Punto flotante: Los números se representan con un número fijo de dígitos significativos.

Dígito Significativo: De un número “C”; es cualquier dígito dado de este, excepto posiblemente aquellos ceros a la izquierda del primer dígito diferente de cero y que solo sirven para fijar la posición del punto decimal (entonces cualquier otro cero es un dígito significativo de C), Ej. 1360, 1.360; 0.001360; tiene cuatro dígitos significativos.

1. EXACTITUD: Se refiere a la aproximación de un número o de una medida al valor verdadero que se supone representa.
2. PRECISIÓN

1. Número De cifras significativas que representan una cantidad.
2. La extensión en las lecturas repetidas de un instrumento que mide alguna propiedad física.

1. ERROR ABSOLUTO

Se da cuando se aproxima el valor real con un valor aproximado

[pic 1]         Donde [pic 2]

                        [pic 3] 

1. ERROR RELATIVO PORCENTUAL

Suele ser un mejor indicador de la precisión, es más independiente de la escala usada, y esto es una propiedad más que deseable.

[pic 4]

Ejemplo

Planteamiento del problema: Suponga que se tiene que medir la longitud de un puente y la de un remache, y se obtiene 9999 y 9 cms respectivamente.

Solución:

El error absoluto en la medición del puente es:  [pic 5]

Y para el remache es   [pic 6]

El error relativo porcentual en la medición del puente es [pic 7]

Y para el remache es  [pic 8]

[pic 9]

Aquí observamos que el error absoluto es el mismo en las dos mediciones y si no se tiene la magnitud de la cantidad que se esta midiendo no podríamos dar ninguna conclusión; pero al conocer esta magnitud podemos observar que en la medición del remache se genero un error muy grande.

En las mediciones científicas  es usualmente el error relativo el que resulta relevante. La información acerca del error absoluto suele ser poco útil si no se conoce la magnitud de la cantidad que se esta  midiendo; por esta razón es importante el error normalizado que se define como sigue:

1. ERROR NORMALIZADO PORCENTUAL

En situaciones reales a veces es difícil contar con el valor verdadero, para dichos casos, una alternativa es normalizar el error, usando la mejor estimacion posible al valor verdadero; es decir. Para la aproximación misma.

[pic 10]

Corrección                [pic 11]

Valor verdadero        [pic 12]        Aproximación + Corrección

Cota de error para a es un número [pic 13] es decir [pic 14]

A menudo cuando se realizan cálculos, no importa mucho el signo del error sino mas bien que su valor absoluto porcentual sea menor que una tolerancia porcentual prefijada.

1. TOLERANCIA

[pic 15]  Donde n es el número de cifras significativas

En el momento en que se realizan las aproximaciones y se cumpla que .

[pic 16]  si se conoce el valor real

[pic 17]  si no se conoce el valor real

Se garantizan “ n “ cifras significativas.

SERIES DE TAYLOR

EJEMPLO 1

• Encuentre el polinomio de grado 2, que cumple   [pic 18]     [pic 19]    [pic 20], entonces si seguimos la observación anterior, llegamos a:

[pic 21]

Vemos

[pic 22]

Es fácil ver que  [pic 23]  cumple las condiciones iniciales.

Al hacer el mismo análisis para un polinomio de grado [pic 24] llegamos a:

[pic 25]

En general, esto sigue para cualquier polinomio, la ventaja de esto es que a partir de cierta derivada el crecimiento es cero.

Pensemos en el caso, que no sea un polinomio, por ejemplo    [pic 26]   es fácil justificar que esta función NO  es un polinomio, ahora como a partir de ningún crecimiento se vuelve cero, este proceso lo debemos extender hasta “infinito” así:

[pic 27]

[pic 28]   Donde     [pic 29]               [pic 30]

Haciendo esto para [pic 31]tenemos:

[pic 32]

Y así                          [pic 33]

Sustituyendo obtenemos

[pic 34]

Denotemos esta serie por [pic 35] así:

[pic 36]

¿La pregunta natural es [pic 37]?

Para analizar este caso veamos otro ejemplo

EJEMPLO 2

• Sea        [pic 38],    se puede verificar que

[pic 39]        Y así       [pic 40]

Sustituyendo en [pic 41] obtenemos que:

[pic 42]

¿La pregunta es?

[pic 43]

Para esto consideramos algunos valores particulares

[pic 44]

[pic 45]

[pic 46]

[pic 47]

[pic 48]

[pic 49]

[pic 50]

[pic 51]

[pic 52]

[pic 53]

[pic 54]

[pic 55]

Por lo anterior, para el valor  [pic 56]    [pic 57] argumentos geométricos muestran que  [pic 58][pic 59]  y   [pic 60][pic 61] ahora si vemos [pic 62] es claro que [pic 63][pic 64] sin embargo a esta suma se le puede dar algún sentido ya

que [pic 65]  tiene como sumas parciales [pic 66] y [pic 67],  y [pic 68] es el promedio

de estas dos y por ultimo para [pic 69]

[pic 70]

Es claro que  [pic 71]  y  [pic 72] [pic 73] NO están definidas, pero se comportan de manera similar [pic 74] sin embargo para [pic 75] no tiene nada que ver [pic 76] y [pic 77][pic 78]

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