Trabajo de Calculo integal

Unidad 0.

Conjunto: Colección bien definida de OBJETOS, es decir, una colección de tal manera que dado un OBJETO ARBITRARIO vale solamente una de las siguientes afirmaciones.

1. El objeto está en la colección.
2. El objeto no está en la colección.

A los objetos se les llama ELEMENTOS DEL CONJUNTO.

Generalmente a los conjuntos se les denota con letras mayúsculas A, B, C, D, E…
y a sus elementos con letras minúsculas a, b, c, d, e.

Existen dos conjuntos espaciales: EL UNIVERSO Y EL VACÍO.

UNIVERSO                      [pic 1]

VACÍO                              ᶲ, {}

Subconjunto: Dado A & B dos conjuntos no vacíos .[pic 2]

A es un subconjunto de B si todo elemento de A es elemento de B y se denota: .[pic 3]

[pic 4]

.[pic 5]

Operaciones entre conjuntos.

[pic 6]

[pic 7]

[pic 8]

[pic 9]

[pic 10]

[pic 11]

[pic 12]                                            [pic 13]

[pic 14]

Unidad 1. Propiedades de los números reales.

Consideremos un ejemplo de un conjunto: e conjunto de los números reales, denotado por = .
El conjunto de  cumple los siguientes axiomas de adición y multiplicación.[pic 15][pic 16]

Teorema 1.- Si a, entonces [pic 41][pic 42]

Comprobación:

[pic 43][pic 44][pic 45][pic 46][pic 47][pic 48]

Teorema 2.- Supongamos que a,b , entonces:[pic 49]

1. .[pic 50]
2. [pic 51]

Comprobación:

.
[pic 52][pic 53][pic 54][pic 55][pic 56][pic 57]

Ejercicios

1.- Si [pic 58]

Comprobación:

[pic 59][pic 60][pic 61][pic 62][pic 63][pic 64][pic 65][pic 66][pic 67][pic 68]

2.- Dados [pic 69]

Comprobación: (Ley de cancelación por multiplicación).

[pic 70][pic 71][pic 72][pic 73][pic 74][pic 75]

3.-Resolver  sin utilizar la chicharronera.[pic 76]

Comprobación:

[pic 77][pic 78][pic 79][pic 80][pic 81][pic 82][pic 83][pic 84][pic 85][pic 86][pic 87][pic 88]

4.-[pic 89]

Comprobación:

[pic 90][pic 91][pic 92][pic 93][pic 94][pic 95][pic 96][pic 97][pic 98][pic 99]

5.- [pic 100]

Comprobación:

[pic 101][pic 102][pic 103][pic 104][pic 105][pic 106][pic 107]

AXIOMAS DE ORDEN.
PROPIEDAD DE TRICOTOMIA.

Si , entonces se cumple una y solo una de las siguientes afirmaciones:[pic 108]

[pic 109]

Si [pic 110]

Ejercicio

Si [pic 111]

Comprobación:

[pic 112][pic 113][pic 114]

[pic 115]

Ejercicio 2.

Si [pic 116]

Comprobación:

[pic 117][pic 118][pic 119][pic 120][pic 121][pic 122]

Ejercicio 3.

Si [pic 123]

Comprobación:

[pic 124][pic 125]

Valor absoluto

Definimos a el valor absoluto de un número real , denotado por: como:[pic 126][pic 127]

=[pic 128][pic 129]

Ejemplo:

1. [pic 130]
2. [pic 131]
3. [pic 132]
4. [pic 133]

Propiedades del valor absoluto

1. [pic 134]
2. [pic 135]
3. [pic 136]
4. [pic 137]
5. [pic 138]
6. [pic 139]

Intervalos

Dados a,b  (sean a, b ) donde uno es más pequeño que el otro. Podemos definir lo siguiente:[pic 140][pic 141]

1.-INTERVALO ABIERTO

[pic 142]

[pic 143]

2.-INTERVALO CERRADO

[pic 144]

[pic 145]

3.-INTERVALO SEMIABIERTO POR LA IZQUIERDA

[pic 146]

[pic 147]

4.-INTERVALO SEMIABIERTO POR LA DERECHA

[a,b)={x│a}[pic 148]

[pic 149]

5.-

[pic 150]

={xx > a}
([pic 151][pic 152][pic 153][pic 154]

Ejercicios.-
1.- Si I₁ = (0, 1)
2.- Si I₂ =[-5, 10)

Realizar lo siguiente

1. Localizar en la recta real a I₁ y I₂.

[pic 155][pic 156][pic 157][pic 158][pic 159][pic 160]

        
                                                          1         0[pic 161]

[pic 162][pic 163][pic 164][pic 165][pic 166][pic 167][pic 168]

                                      -5                             0                                  10

1. Identifique en la recta: [pic 169]

[pic 170]

[pic 171][pic 172][pic 173][pic 174][pic 175][pic 176]

[pic 177]

1. 1

[pic 178]

[pic 179][pic 180][pic 181][pic 182]

[pic 183][pic 184][pic 185][pic 186]

                -5                      0                       10

Si [pic 187]

[pic 188][pic 189][pic 190]

                                 a                   b

[pic 191][pic 192][pic 193]

[pic 194]

          -a                                 0                              a

[pic 195]

=[pic 196][pic 197]

Comprobación:     [pic 198]

[pic 199][pic 200][pic 201][pic 202][pic 203][pic 204][pic 205][pic 206]

[pic 207][pic 208][pic 209][pic 210]

[pic 211][pic 212][pic 213][pic 214]

.
[pic 215][pic 216]

[pic 217]

[pic 218][pic 219][pic 220][pic 221][pic 222]

[pic 223]

Caso 1.- [pic 224][pic 225]

Caso [pic 226][pic 227][pic 228][pic 229][pic 230][pic 231]

[pic 232][pic 233][pic 234][pic 235][pic 236]

[pic 237]

                                                 [pic 238][pic 239]

[pic 240]

Caso 2.- Si [pic 241][pic 242]

Caso [pic 243][pic 244][pic 245][pic 246][pic 247][pic 248]

Ejemplo:

[pic 249][pic 250][pic 251][pic 252][pic 253][pic 254][pic 255][pic 256][pic 257][pic 258][pic 259]

  [pic 260][pic 261][pic 262][pic 263]

[pic 264]

                                                   0        [pic 265]

[pic 266]

Caso 3.- [pic 267][pic 268][pic 269][pic 270]

                                                      *[pic 271]

Resolver * es resolver lo siguiente:

[pic 272]

Ejemplo; Encontrar con conjunto solución de:

[pic 273]

[pic 274]

                                                                                                                                                   < 0                          
                            [pic 275][pic 276][pic 277][pic 278][pic 279][pic 280][pic 281]

...