Trabajo de calculo Integral

Calculo Integral

4.1  Series

Definición:

Matemáticamente, una sucesión o serie  se define como una función cuyo dominio en el conjunto de los enteros positivos. Aunque una sucesión es una función, es común representar las sucesiones empleando subíndices en lugar de la notación habitualde la función. Por ejemplo, en la sucesión

  1   2   3    4…...,n.….[pic 1][pic 2][pic 3][pic 4][pic 5]

a1  a2  a3  a4…… n….

Al 1 se le asigna a1, al 2 se le asigna a2, al 3se le asigna a3, y así sucesivamente. Los números a1, a2, a3…. an…. Son los términos de la sucesión. El numero an es el termino n-ésimo de la sucesión, y la sucesión completa se denota por (an).

 De ves en cuando, es conveniente empezar una sucesión con a0, para que los términos de la sucesión sean a0, a1, a2…… an……

La finalidad de las sucesiones, en la mayor parte, es que sus términos tienden a valores limites. Tales sucesiones se llaman convergentes.

Por lo que se define al límite de una sucesión como:

  Sea L un número real. El límite de una sucesión (an) es L. escrito como:

n = L[pic 6]

Si el límite de una sucesión existe se dice que es una sucesión convergente a L. Sí el límite de una sucesión no existe, entonces la sucesión es divergente.

También se define como serie la suma de los términos de una sucesión. Se representa una serie con términos an como

[pic 7]

Donde n es el índice final de la serie. Las series infinitas son aquellas donde i toma el valor de absolutamente todos los números naturales, es decir.  i= 1, 2 , 3, 4……

4.1.1 Series finitas.

Uno espera, por analogía con sumas finitas, eso en los casos en los cuales las dosseries convergen realmente, la suma deserie infinita es igual al producto cuando cada uno de las dos sumas que son multiplicadas tiene solamente finito muchos términos.
xi = 0 para todos i > n y yi = 0 para todos i > m. Aquí el producto de Cauchy de y se verifica fácilmente para ser.

Por lo tanto, para las series finitas (que son sumas finitas), la multiplicación de Cauchy es multiplicación directa de esasseries.Por ejemplo:

1 + 3 + 5 +••• + 97 + 99⇒

Es una serie finita debido a que se conoce el numero total de datos que posee 50 términos.

4.1.2 Series infinitas

Mucho tiempo atrás se conocía a una  serie finita, como el número total de datos que conformaban la sucesión y que equivalían a la suma de unas series infinitas, sin embargo, ¿a que Llamamos Serie Infinita?

 La definición de serie infinita va denotada por los criterios de convergencia y divergencia de una sucesión, dicho de otra manera, una serie finita puede ser convergente, cuando existe una sumatoria, o divergente, cuando no es posible encontrar el valor a la sumatoria.

Por tanto una definición mas clara de serie infinita es la que se muestra a continuación

Definición de serie infinita:

La serie infinita
[pic 8]

Converge y tiene suma en S si la sucesión de sumas parciales (Sn) convergen en S, si (Sn) diverge, entonces la serie diverge. Una serie divergente no tiene suma.

En las series finitas se dice que  i toma el valor de absolutamente todos los números naturales, es decir.

i = 1, 2, 3, 4….

Y donde Sn es la, n-ésima suma parcial, esta dada por:

Sn = a1 + a2 + a3 + …… + an =  
[pic 9]

4.2 Serie numérica y convergencia, prueba de la razón (criterio de dalembert) y prueba de la raíz (criterio de cauchy).

Las series numericas son sucesiones muy particulares ya que se definen (o se generan) a partir de otra sucesión.

En forma general una sucesión numérica se define por:

Sea (an) donde n  N una sucesión real. Se define una nueva sucesión numérica (Sn)nN[pic 10][pic 11]

Que se encuentre dada a partir de la sucesión (an)n N de la siguiente manera:[pic 12]

S0 = a0

S1 = a0 + a1

S2 = a0 + a1 + a2

Sn= a0 + a1 + a2+ · · · · + an

Donde se expresa por:

[pic 13]

A Sn se le llama suma parcial de la serie o también reducida n-ésima de la serie.

En el caso de la convergencia de una serie, como se menciono al principio esta daba por la siguiente definición:

Definición de serie convergente o convergencia de una serie:

Dada una serie infinita  

[pic 14]

La n-ésima suma parcial esta dada por:

Sn= a0 + a1 + a2 +  · · · · + an

Si la sucesión de sumas parciales (Sn) converge a S, entonces la serie
[pic 15]

converge. Y el límite de la sucesión S es suma de serie y esta denotado por: denominado s

S = a1 + a2 + a3 +…….. + an+….

Un ejemplo de aplicación de la convergencia de una serie es en la llamada serie armónica, estudiada en Física; esta serie esta dada por la siguiente expresión:

[pic 16]

Cuando se consideran las sumas parciales como la n-ésima suma parcial es decir Sn =

[pic 17]

Se observa que:

S1 = 1

S2 = 1 + [pic 18]

.

S4 = 1 +  +> 1 + + = 1 +  = 1 + [pic 19][pic 20][pic 21][pic 22][pic 23][pic 24]

.

.S8 = 1 +  + + > 1 + + +  = 1 + 1 +  + =[pic 25][pic 26][pic 27][pic 28][pic 29][pic 30][pic 31][pic 32]

1 + [pic 33]

Y en general,   S2n> 1 + [pic 34]

Lo que significa que las sumas parciales Sn se pueden hacer tan grande como se desee si se toma n suficientemente grande, por lo que cuando n∞ el   no existe como numero finito. Se dice que la serie diverge.[pic 35][pic 36]

Cuando nR (donde en es un numero real) se dice entonces que   existe como numero finito. Y es entonces que la serie converge.[pic 37][pic 38]

Ejemplo de esto, supongamos que n entonces la serie queda dada por:[pic 39]

Sn = 1 +  +   +…….. + [pic 40][pic 41][pic 42]

S100 = 1 +  +   +…….. + [pic 43][pic 44][pic 45]

Por lo que se dice que la serie es convergente, ya que el límite de Sn existe

Prueba o criterio de la razón (Criterio de D´Alembert).

La aplicación de la prueba de la razón es muy útil cuando se tiene una serie que en la que se requiere de varios pasos de prueba y error para hallar una comparación apropiada. Este criterio hace posible una clase de comparación interna de términos de la serie dada y tiene la ventaja adicional de ser aplicable a series que contienen términos negativos.

...