Trabajo de investigacion. Cálculo Integral,

INSTITUTO UNIVERITARIO DE TECNOLOGÍA

“JOSÉ MARÍA CARREÑO”

UNIDAD CURRICULAR: MATEMÁTICA II

CARRERA: INFÓRMATICA

PERIODO: 2020 – 5

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     Profesor:                                                                 Estudiante:

 Nicolás Eduardo Ramos Orta                                      Zahi Michel El Jaovich Blanco

                                        Cúa, 30 de Junio del 2021

INTRODUCCIÓN

El presente trabajo trata sobre el Cálculo Integral, presentando su definición tanto formal como geométrica y sus distintos métodos para resolver los diferentes casos de integrales que se presenten.

Además se presenta el concepto de integral definida, explicando y mencionando tanto sus aplicaciones que tiene en el área de la matemática (cálculo de áreas, volúmenes…) como en las demás ciencias (física, economía, biología…)

Por último se presentan unas breves conclusiones sobre el tema tratado con su respectiva bibliografía.

CÁLCULO INTEGRAL

Definición:

El cálculo integral, encuadrado en el cálculo infinitesimal, es una rama de las matemáticas en el proceso de integración o antiderivación. La integración es un concepto fundamental del cálculo y del análisis matemático. Básicamente, una integral es una generalización de la suma de infinitos sumandos, infinitesimalmente pequeños: una suma continua. La integral es la operación inversa a la diferencial de una función. Es muy común en la ingeniería y en la ciencia; se utiliza principalmente para el cálculo de áreas y volúmenes de regiones y sólidos de revolución

Definición formal y su interpretación geométrica:

Dada una función f(x) de una variable real x y un intervalo [a,b] de la recta real, la integral es igual al área de la región del plano xy limitada entre la gráfica de  f, el eje x, y las líneas verticales x=a y x=b, donde son negativas las áreas por debajo del eje x. [pic 2][pic 3]

El vocablo «integral» también puede hacer referencia a la noción de primitiva: una función F, cuya derivada es la función dada f. En este caso se denomina integral indefinida, mientras que las integrales tratadas son las integrales definidas. Algunos autores mantienen una distinción entre integrales primitivas e indefinidas, sin empbargo nosotros las vemos igual.

Hay muchas maneras de definir la integración formalmente, sin embargo quí presentaremos su definición a través de la integrale de Riemann, que es una de las más usadas.

La integral de Riemann se define en términos de sumas de Riemann de funciones respecto de particiones etiquetadas de un intervalo. Sea [a,b] un intervalo cerrado de la recta real; entonces una partición etiquetada de [a,b] es una secuencia finita

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y denotamos la partición como  

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Esto divide al intervalo [a,b] en n subintervalos [xi-1,xi], cada uno de los cuales es «etiquetado» con un punto especificado ti de [xi-1,xi]. Sea Δi = xi−xi−1 la anchura del subintervalo i; el paso de esta partición etiquetada es el ancho del subintervalo más grande obtenido por la partición, maxi=1…n Δi. Un sumatorio de Riemann de una función f respecto de esta partición etiquetada se define como[pic 6]

Así cada término del sumatorio es el área del rectángulo con altura igual al valor de la función en el punto especificado del subintervalo dado, y de la misma anchura que la anchura del subintervalo. La integral de Riemann de una función f sobre el intervalo [a,b] es igual a S si:

Para todo  existe   tal que, para cualquier partición etiquetada [a,b] con paso más pequeño que δ, se tiene[pic 7][pic 8]

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Cuando las etiquetas escogidas dan el máximo (o mínimo) valor de cada intervalo, el sumatorio de Riemann pasa a ser un sumatorio de Darboux superior (o inferior), lo que sugiere la estrecha conexión que hay entre la integral de Riemann y la integral de Darboux, que es otra forma de definir las integrales.

Principales Métodos de Integración:

Se entiende por método de integración a la integral de las diferentes técnicas elementales usadas (a veces de forma combinada) para calcular una antiderivada o integral indefinida de una función. Así, dada una función f(x), un método de integración nos permite encontrar otra función F(x) tal que:

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lo cual, por el teorema fundamental del cálculo equivale a hallar una función F(x) tal que f(x) sea su derivada:[pic 11]

El problema de resolver una integral indefinida o buscar una primitiva es mucho más elaborado que el problema de calcular la derivada de una función. De hecho, no existe un algoritmo determinista que permita expresar la primitiva de una función elemental, es más, la primitiva de muchas funciones elementales no es ninguna función elemental. Por ejemplo, no existe ninguna función elemental  F(x) tal que:

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Si se consideran grupos de funciones elementales de un cierto tipo (polinómicas, fracciones racionales, trigonométricas, etc.) entonces el problema de encontrar la primitiva puede resolverse por los métodos de integración correspondientes.

1. Integración directa o inmediata:

En ocasiones es posible aplicar la relación dada por el teorema fundamental del cálculo de forma directa. Esto requiere conocer de antemano una función F(x) que sea el resultado de la antiderivada de f(x). Para ello se puede disponer de tablas como las presentadas a continuación:

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También de funciones trigonométricas:

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E hiperbólicas:

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1. Integración por cambio de variable:

El método integración por sustitución o cambio de variable se utiliza para evaluar integrales. El método se basa en realizar de manera adecuada un cambio de variable que permita convertir el integrando en algo sencillo. Este método realiza lo opuesto a la regla de la cadena. Antes de enunciar el teorema, considere un ejemplo simple para integrales indefinidas.

Supóngase que la integral a resolver es:

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Se hace el cambio de variable

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Por lo que la integral se convierte en

Donde C pertenece a R y es una constante arbitraria llamada constante de integración.

Frecuentemente este método es utilizado pero no todas las integrales permiten el uso de este método, en los casos en los que sí es posible, el resultado puede verificarse derivando y comparando con el integrando original.

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Para integrales definidas, los límites de integración deben cambiarse pues estos deben estar en términos de la nueva variable pero el procedimiento es similar:

Sea g: [a,b] → I una función diferenciable con derivada continua donde  I es un conjunto incluido en R, si f: I → R es una función continua en I  entonces

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1. Integración Por Partes:

En el cálculo y en general en el análisis matemático, integración por partes es el proceso que encuentra la integral de un producto de funciones en términos de la integral de sus derivadas y antiderivadas. Frecuentemente usado para transformar la antiderivada de un producto de funciones en una antiderivada, por lo cual, una solución puede ser hallada más fácilmente.

El método de integración por partes es el que resulta de aplicar el siguiente teorema

        Teorema: Si f' y g' son funciones continúas entonces

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Típicamente se encuentra la fórmula como sigue:

Si u=f(x) y v=g(x) entonces

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La integración por partes es útil cuando la función a integrar puede considerarse como el producto de una función f, cuya derivada es más sencilla que f, por otra función que claramente es de la forma g'.

Desde un punto de vista didáctico se recomienda escoger la función u de acuerdo con el orden, ayudándose de la regla mnemotécnica "ILATE":

• Inversa trigonométrica: arctan(x),arcsec}(x)...
• Logarítmicas: ln(x),log (x)...
• Algebraicas o polinómicas: x^2, 3x^50...
• Trigonométricas: sen(x), tan(x)...
• Exponencial: e^x o a^x siendo a un número que pertenece a R.

Ejemplo 1

En ocasiones, un truco que a menudo funciona en la integración por partes consiste en considerar que la función g'(x) o escoger a dv como la constante 1.

Se desea calcular la integral

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Si procedemos por el método de integración por partes entonces

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Luego

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Donde C es una constante arbitraria llamada constante de integración.

Cabe mencionar que existen unas fórmulas de integración que facilitan el proceso de integración por partes, estas fórmulas son las de reducción: [pic 26]

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