UNA FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN ESTADÍSTICA DE AMPLIA APLICABILIDAD

UNA FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN ESTADÍSTICA DE AMPLIA APLICABILIDAD

Por WALODDI WEIBULL, l ESTOCOLMO, SUECIA

Este artículo analiza la aplicabilidad de la estadística para un amplio campo de

de problemas. Se dan ejemplos de distribuciones de simples y complejas.

I F una variable X se atribuye a los individuos de una población, la función de distribución (df) de F denota f (x), puede definirse como el número de todos los individuos que tienen una X < x, dividido por el número total de individuos. Esta función también da la probabilidad P de escoger al azar un individuo que tiene un valor de X igual a o menor que x, y así tenemos:

Cualquier función de distribución puede escribirse en forma:

Esto parece ser una complicación, pero la ventaja de esta transformación formal depende de la relación:

Los méritos de esta fórmula serán demostrados en un problema simple.

Supongamos que tenemos una cadena formada por varios enlaces. Si hemos encontrado, por pruebas, la probabilidad de falla P a cualquier carga x aplicada a un solo link, y si queremos hallar la probabilidad de falla P n de una cadena formada por enlaces n, tenemos que basar nuestras deducciones sobre la propuesta de que la cadena como un todo ha fallado, si cualquiera de sus partes ha fallado. En consecuencia, la probabilidad de no hallar fallas de la cadena, (1 -P n), es igual a la probabilidad de que el fracaso no simultánea de todos los enlaces. Así tenemos (1-Pn) = (1 - p) n. Si entonces el df de un solo enlace toma la forma ecuación (2), obtenemos:

Ecuación [4] da la expresión matemática apropiada para el principio del eslabón de la cadena, o, más generalmente, para el efecto de tamaño de fracasos en los sólidos.

El mismo método de razonamiento puede aplicarse al gran grupo de problemas, donde la ocurrencia de un evento en cualquier parte de un objeto puede decirse que se ha producido en el objeto como un todo, por ejemplo, los fenómenos de límites de rendimiento, fuerza estática o dinámica, averías de aislamiento eléctrico, vida de bombillas eléctricas, o incluso la muerte del hombre, como la probabilidad de sobrevivir depende de la probabilidad de no haber muerto de muchas causas diferentes.

Ahora tenemos que especificar la función < p (x). Las condiciones generales sólo es necesaria que esta función tiene que satisfacer son una función positiva, no decreciente, desapareciendo en un valor xu, que no es necesariamente igual a cero.

La función más simple satisface esta condición es:

y así ponemos:

El único mérito de este df es encontrarse en el hecho de que es la más simple expresión matemática de la forma apropiada, la ecuación [2], que satisface las condiciones necesarias. Experiencia ha demostrado que, en muchos casos, se ajusta a las observaciones mejores que otras funciones de distribución conocida.

La objeción se ha dicho que esta función de distribución no tiene ningún fundamento teórico. Pero en la medida en que el autor entiende, hay con muy pocas excepciones —-las mismas objeciones contra todos los otros df, aplica a poblaciones reales de campos naturales o biológicos, al menos en hasta ahora como la base teórica tiene nada que ver con la población en cuestión. Además, es totalmente desesperada a esperar una base teórica para las funciones de distribución de variables aleatorias como propiedades de resistencia de materiales o piezas de la máquina o los tamaños de las partículas, las "partículas" las cenizas volantes, Cyrtoideae o incluso adultos machos, nacidos en las islas británicas.

Se cree que en estos casos la manera sólo practicable de progresar es elegir una función simple, prueba empíricamente y mantenerlo siempre y cuando no se ha encontrado mejor. Según este programa el df ecuación [5], se ha aplicado no sólo a las poblaciones, para la que fue originalmente diseñado, sino también a las poblaciones de campos muy diferentes y, en muchos casos, con resultados bastante satisfactorios. El autor nunca ha sido de la opinión que esta función siempre es válida. Por el contrario, mucho duda el sentido de hablar de la función de distribución «correcta», así como no hay ningún significado preguntando por los valores de fuerza correcta de un acero SAE, dependiendo de como lo hace, no sólo en el propio material, sino también sobre el fabricante y muchos otros factores. En la mayoría de los casos, se espera que estos factores influirán sólo los parámetros. Sin embargo, accidentalmente puede afectar incluso a la propia función.

El propósito de este trabajo ha sido ilustrar con unos ejemplos de la experiencia que el df, la ecuación (5], pueden algunas veces hacer buen servicio.

El número de ejemplos, por el espacio, ha limitado a lo siguiente:

1. Fluencia de un acero de Bofors

2. Distribución de tamaño de ceniza

3. Fuerza de la fibra de Indiancotton

4. Longitud de Cyrtoideae

5. Vida de fatiga de un acero St-37.

En el Apéndice:

6. tallas para machos adultos, nacidos en las islas británicas

7. Amplitud de frijol Phaseolus Vulgaris

Se ha comprobado la exactitud de ajuste aplicando el método de ji-cuadrada.

De esas poblaciones, Nos. 1-3 se distribuyen de acuerdo con la df ecuación [5], mientras que las cuatro restantes poblaciones tienen que dividirse en dos componentes, antes de que se obtenga un acuerdo de este tipo. El primer tipo se llamará "simple" y el segundo escriba una distribución "compleja".

Se plantea la cuestión fundamental ahora, si esta división es una operación puramente formal, o si podrían desvelar algunas verdaderas causas ocultas. Se puede decir que cualquier distribución puede ser representada por una suma de un número suficientemente grande de distribuciones simples, al igual que cualquier función periódica se puede desarrollar en una serie de Fourier. Sin embargo, si el número de los componentes pequeños y el número de observaciones suficientemente grandes, la probabilidad de verdaderas causas parece aumentar. En cualquier caso, es muy fácil producir distribuciones reales complejas por síntesis.

Parece obvio que los componentes de ejemplos 4 y 5 son debido a causas reales. En los ejemplos 6 y 7 es imposible decidir si la división es formal o real, pero el hecho de sí mismo puede ser un valioso estímulo para un examen más detenido del material observado.

Siguen los datos específicos para los ejemplos.

FLUENCIA DE UN ACERO DE BOFORS

Los valores observados se obtienen como exámenes de rutina de un acero de Bofore, cuya calidad fue elegida al azar para propósitos de demostración solamente.

Figura 1 da la curva y la tabla 1 del

TABLA 1 rendimiento de fuerza de un BOFORS acero

(x = resistencia a la fluencia en 1.275 kg/mm1)

Valores esperados Valores observados Distribución normal.

X n n n

1 32 10 10 8

2 33 36 33 28

3 34 84 81 71

4 35 150 161 141

5 36 224 224 225

6 37 291 289 301

7 38 340 336 351

8 39 369 369 376

9 40 383 383 386

10 42 389 389 388

FIG. 1 RESISTENCIA A LA FLUENCIA DE UN ACERO DE BOFORS

valores, observados y calculados. Los parámetros son xu = 38.57 kg/mm2, x0 = 7.74 kg/mm2, m = 2.934. Sin agrupación, los grados de libertad (d f) son 9:3 = 6. Entonces X2 = 5,40 da P = 0.49. El acuerdo es muy satisfactorio.

Como comparación, los valores que se espera que en la hipótesis de una distribución normal se han calculado y se encuentran en la última columna del cuadro 1. Si se agrupan las clases 9-10, la d de f son 8 — 2 = 6. A continuación, un x 2 = 18.17 da una P = 0.008, que no es satisfactorio en todo.

DISTRIBUCIÓN DE TAMAÑO DE LAS CENIZAS VOLANTES

Los valores observados son tomados del trabajo de J. M. Dalla Valle. Figura 2 da la curva y la tabla 2 de la misma. El parámetro son xu = 30 / *, X 9 - 128 ¡x, m = 2.288. Sin agrupamiento, la d de tarifa 12:3 = 9. Luego xs = 8,44 ofrece una P = 0.49. Si las clases son de 2-3 y 13-14 agrupado, la d de f son 7 y x 1 = 8-44 dan un una P = 0,29.

FUERZA DE LA FIBRA DE ALGODÓN DE LA INDIA

Los valores observados son tomadas de R. S. Koshal y A. J. Turner.3 Figura 3 da la curva y 3 de la tabla de los valores. Los parámetros son xu = 0,59 gramos, x 0 = 3,73 gramos, m = 1.456. Si se agrupan las clases de 14 a 16, la d de tarifa 13 — 3 = 10. Entonces X 2 = 11.45 da una P = 0.35.

Los autores 3 han señalado que la característica más llamativa acerca de la curva de frecuencia es su asimetría, mostrando un predominio bien marcado de fibras débiles. Se encontró — dicen — que la curva de observación sería bien equipado por una curva teórica de tipo 1 de Pearson, que tiene la siguiente ecuación:

En esta ecuación y representa la frecuencia de cualquier fuerza x; expresada en gramos.

En la última columna de la tabla 3 se muestran los valores calculados a partir de esta ecuación no es muy práctica. La d de f son 13 — 5 = 8 (como hay 5 parámetros). Entonces x 2 = 14.43 da una P = 0.07.

A pesar del mayor número de parámetros, el ajuste de esta función de distribución no está tan cercano como la de la primera de ellas.

LONGITUD DE CYRTOIDEAE:

este es el primer ejemplo de una distribución compleja. Los valores han sido obtenidos de una investigación por Dr. Gustaf Arrhenius, en los núcleos de submarinos de la WithAlbatross

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