Vectores. VECTORES EN EL ESPACIO

1) INTRODUCCION

Álgebra vectorial: Es la rama de la matemática que esta relacionada con el manejo de operaciones con magnitudes vectoriales, ya sea suma, resta o multiplicación. Por lo que las magnitudes vectoriales son de utilidad en la vida diaria en muchas aplicaciones para un mejor entendimiento y funcionamiento de lo que conocemos como necesidades administrativas, técnicas, sociales, etc.

Existen magnitudes cuyas cantidades se determinan dando un solo dato numérico algebraico, como por ejemplo, la masa de un cuerpo; tal dato se suele llamar “Numero Escalar”. Pero a menudo, un solo dato numérico no basta para especificar una sola cantidad, ya que en determinados casos es más necesario saber cualidades especificas para un mejor entendimiento, como la dirección y el sentido, ya que éstos determinarán el resultado final, esto se puede considerar como un ente asociado; Tal ente lo podemos llamar “Vector” (posteriormente se explicara mas detalladamente). La definición más general de un vector, es una herramienta geométrica que determina lo antes mencionado, sentidos y direcciones, y se utiliza para representar una magnitud física y esta conformado por un “Origen” también llamado Punto de aplicación, y un “Módulo” que es la longitud.

Todo esto es manejado en un sistema de referencia (o también llamado “plano cartesiano”) de dos y tres dimensiones por lo general; Y es una representación de espacio-tiempo, donde se puede ver con claridad las expresiones a estudiar o trabajar y su comportamiento. Es decir, un campo de trabajo, donde se es posible tratar bajo coordenadas y/o posiciones determinadas para cada uno de los puntos deseados. Cuenta con un punto de origen de donde parte la perspectiva en la vista del espectador ya sea que se encuentre en movimiento o en una posición fija.

En nuestra vida diaria, así como en casi cualquier rama de la ciencia nos enfrentamos con dos tipos de magnitudes, a saber aquellas en las que solo nos interesa la cantidad o el tamaño, y aquellas en las que nos interesa tanto la cantidad como la noción de “para donde”. La velocidad, por ejemplo, viene dada por un vector; si suponemos desplazamientos rectos, la dirección indica el tipo de trayectoria que se efectúa, el sentido indica hacia dónde se va, y el módulo indica la rapidez con que nos movemos; como puede verse, el velocímetro de un coche es, en realidad, solamente el "modulómetro" que se encarga de calcularlo, puesto que indica el módulo de la Velocidad. Una vez calculando la velocidad se puede establecer ciertas reglas de cuidado para cada función que se le pueden dar a dicho coche, o así mismo entender las magnitudes físicas que esto implica.

2) VECTORES EN EL ESPACIO.

El concepto de vector no es posible de entender a la perfección si no se saben conceptos fundamentales que lo conforman, tales como, el “Plano cartesiano” que está formado por dos rectas numéricas perpendiculares, una horizontal y otra vertical que se cortan en un punto. La recta horizontal es llamada eje de las abscisas o de las equis (X), y la vertical, eje de las ordenadas o de las yes, (Y); el punto donde se cortan recibe el nombre de origen, y tiene como finalidad describir la posición de puntos, los cuales se representan por sus coordenadas; También esta dividido en cuatro cuadrantes Y el “punto en el espacio”; Se define como la representación espacial en un sistema de referencia de conjuntos reales. Por lo regular, en los libros lo podemos encontrar simbolizado con una sola letra (en mayúscula por lo general). El punto es imaginario, ya que no cuenta con volumen propio real, por lo que es utilizado como un origen de referencia, y es convertido en un volumen visual, esta formado por una coordenada específica o pareja ordena que marca el tiempo y el espacio en el plano cartesiano. En la siguiente imagen (V.1) podemos notar ambos conceptos.

(V.1)

Para determinar las coordenadas de un punto o localizarlo en el plano cartesiano, se encuentran unidades correspondientes en el eje de las x hacia la derecha o hacia la izquierda y luego las unidades del eje de las y hacia arriba o hacia abajo, según sean positivas o negativas, respectivamente. Podemos observar que el punto en el espacio en este caso esta encontrado por las coordenadas (4,3), es decir, sobre el eje de las abscisas o eje “X” tiene como valor -4- y mientras, en el eje de las ordenadas o eje de las “Y” tiene como valor -3-. El origen tiene como valor -0- en el único punto donde hacen contacto ambos ejes.

No solo el plano cartesiano con solo dos ejes, es el único que representa el espacio real, sino que, también esta el “plano tridimensional” o Euclidiano. Este sistema de referencia es en honor de un matemático griego Euclides, quien al rededor del año 300 a.C. Comenzó a desarrollar los conceptos matemáticos que explican el espacio en el que vivimos. Como ya ha sido mencionado el anteriormente, esta conformado por tres dimensiones, así como en el plano cartesiano encontramos solo 2 ejes, en el plano Euclidiano tiene un eje más que muestra la altura, y representaremos con la letra “Z”.

Así mismo, el procedimiento para poder encontrar un punto en el espacio es el mismo que utilizamos en el plano de dos dimensiones como recomendación lo indicado es que primero se debe localizar el valor en el eje “X” posteriormente hacer lo mismo en el eje “Y”, y aun mas fácil, se debe trazar un línea recta paralela al eje contrario partiendo en el valor determinado, después para poder encontrar la altura determinada, se utiliza el eje “Z” de igual manera partiendo del punto (X,Y) trazamos una línea paralela al eje “Z” hasta donde el valor en el eje “Z” nos lo indica; Y para terminar partiendo del punto de origen (0) se traza una línea recta mas hasta el punto (X,Y,Z), todo esto lo podemos ver en la siguiente imagen (V.2).

(“X”=2,”Y”=2,”Z”=2)

(V.2)

Cabe destacar que la diferencia entre el plano tridimensional y el plano bidimensional no tiene mucho cambio, solo es visto desde otra perspectiva, es decir, se le da un giro de 90° de tal manera que el eje horizontal termina siendo el eje “Z” mostrando la altura en el que se encuentra el punto en observación; el punto de origen entre los tres ejes es el mismo que en el de los dos, es el punto donde hacen contacto ahora ya los tres ejes, con el valor de cero (0).

Una ves conociendo el concepto de punto, podemos ampliarlo, ahora hablando sobre un conjunto de puntos que al estas formados en sucesión continua entonces se puede formar lo que conocemos como una “Línea recta”, la sucesión de puntos es infinita en los valores reales y una vez localizando ciertos punto, de importancia para cada objetivo,.se dice que la línea recta ahora esta dividida en segmentos ya que solo se esta usando una parte de la susodicha. La recta es una de las figuras geométricas más sencillas que existen, pero tiene muchas aplicaciones de distintas funciones, tanto en el nivel técnico, social y administrativo.

(V.3)

En la imagen (V.3) se muestra una recta cualquiera, que pasa por un punto “P1” evaluado en “X” y en “Y” como X1 y Y2 respectivamente y también por un punto “P2” evaluado en “X” y en “Y” como X2 y Y2 de igual manera; Y retomando lo antes explicado, la recta esta dividida en un segmento de intervalos entre los puntos “P1” y “P2”.

La recta no solo esta conformado por estos conceptos, si no que también existen otros que ayudan a comprender su comportamiento, no obstante, la pendiente es el determinante en la inclinación de la recta, cuanto menos sea el valor de la pendiente, menor inclinación tendrá la recta. La pendiente de una recta en un sistema de representación triangular (de un plano cartesiano), suele ser representado por la letra “m”, y es definido como el cambio o diferencia en el eje ”Y” dividido por el respectivo cambio en el eje “X”, entre dos puntos de la recta (V.4).

Esto es, el valor de la pendiente es resultado de: m = (Y2 – Y1)/(X2 – X1)

(V.4)

La llamada ecuación general de 2do. Grado puede representar también a una recta si se eliminan los términos cuadráticos con lo que no quedaría de la siguiente forma:

Ax + By + C = 0

La recta y el vector tienen mucho en común, la diferencia más sencilla es que el vector va dirigido a un solo sentido y a una solo dirección, junto con magnitudes físicas.

Los vectores, que eran utilizados en mecánica en la composición de fuerzas y velocidades ya desde fines del siglo XVII, no tuvieron repercusión entre los matemáticos hasta el siglo XIX cuando Gauss usa implícitamente la suma vectorial en la representación geométrica de los números complejos en el plano y cuando Bellavitis desarrolla sus "equipolencias", un conjunto de operaciones con cantidades dirigidas que equivale al cálculo vectorial de hoy. Los vectores se pueden representar, a diferencia de la recta, mediante segmentos de recta dirigidos, o así también con fechas; La dirección de la flecha indica la dirección del vector y la longitud de la flecha determina su magnitud.

Con Hamilton inicia el estudio de los vectores, se le debe a él el nombre

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