Álgebra de vectores

1.1 VECTORES EN EL ESPACIO BIDIMENSIONAL Y SU INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA.

Hasta el curso anterior de matemáticas, estudiante de Ingeniería se ha concentrado en el estudio de funciones de una variable cuyas graficas existen en un espacio bidimensional, en esta unidad se inicia con el estudio del cálculo de varias variables con una introducción a los vectores en el espacio bidimensional (plano), y posteriormente se realizará en vectores y funciones definidos en el espacio tridimensional (espacio).

En el estudio de las ciencias, las matemáticas o las ingenierías, se distinguen dos cantidades importantes:

Magnitudes escalares (escalar).

Magnitudes vectoriales (vector).

Una magnitud escalar, es un número real (constante) que se utiliza para representar magnitudes sin indicar dirección y pueden tener unidades específicas asociadas, ejemplos:

Longitud: 10 metros l=10 m

Temperatura: 20°C T=20°C

Tiempo: 15 segundos t=15 s

Costo: 1 000 pesos C= $1 000.00

Las aplicaciones matemáticas frecuentemente se relacionan con cantidades que poseen tanto magnitud como dirección (magnitudes vectoriales) y se representan por flechas o segmentos dirigidos, por ejemplo la velocidad, podemos considerar la velocidad de un móvil (auto, camión, avión, barco, ferrocarril, etc.), la rapidez con que este se desplace tiene cantidad o magnitud (Km/hr), y la dirección determina su curso, por ejemplo norte, sur, este, oeste, ó un ángulo de desplazamiento en general. Otros ejemplos estas magnitudes pueden ser:

Fuerza.

Aceleración.

Trabajo.

Velocidad

SISTEMAS DE COORDENADAS EN DOS DIMENSIONES .

Un sistema coordenado en dos dimensiones se representa mediante pares ordenados en un plano, y se le denomina Sistema coordenado rectangular o Sistema cartesiano.

Este sistema está formado por dos rectas coordenadas perpendiculares que se cortan o intersectan en el origen “0” de ambas, llamadas ejes coordenados.

En el estudio de la Física y la Ingeniería se entiende por vector o vector de desplazamiento un segmento rectilíneo dirigido, es un segmento de recta que parte desde un punto (punto inicial) y llega hasta un punto (punto final), se denota por y se representa por una flecha; la cola de la flecha se denomina punto inicial, y la punta de la flecha recibe el nombre de punto final. El nombre de un vector se puede expresar por letras negritas , o letras con una línea sobre de ella . Cuando se dese enfatizar el punto inicial y final de un vector, se utiliza la notación para representar al vector.

Longitud de un vector: se representa por la distancia que existe entre el punto inicial y el punto final de un vector. Sea el vector donde el punto inicial tiene las coordenadas y el punto final tiene las coordenadas , la longitud del vector se expresa, utilizando el Teorema de Pitágoras, por:

La longitud del vector, también se conoce como módulo, magnitud o norma del vector. Cuando el vector parte del origen (vector de desplazamiento) su notación es , la magnitud, denotada por , se obtiene con la expresión:

Las componentes del vector se expresan por los puntos y que ubican la posición de la punta de flecha del vector, su valor numérico representan la magnitud sobre el eje horizontal o vertical correspondiente.

La dirección de un vector en distinto de cero, se expresa por su ángulo director en . El ángulo director (ángulo positivo) de cualquier vector diferente de cero es el ángulo , medido desde la abscisa positiva (parte positiva del eje ) en el sentido contrario al giro de las manecillas del reloj hasta la representación de posición del vector.

En aplicaciones matemáticas, físicas y científicas en general, el ángulo positivo se expresa en radianes en el intervalo , es decir .

Las componentes del vector se calculan utilizando las razones trigonométricas fundamentales aplicadas en un triángulo rectángulo, y en particular con las funciones seno, coseno. La función tangente se utiliza para determinar la dirección del vector, siendo cuidadoso de los signos de cada componente en el plano.

es decir para

Por otra parte, el ángulo negativo se representa en el intervalo , es decir .

Las componentes del vector se calculan utilizando las razones trigonométricas fundamentales como en el ángulo positivo, pero siempre cuidando el signo de los puntos y .

Vectores iguales: Son dos o más vectores que tienen la misma magnitud y la misma dirección.

Vector negativo: el negativo de un vector , denotado por , es un vector que tiene la misma magnitud, pero dirección opuesta.

Múltiplo escalar de un vector: Sí es un escalar, el múltiplo escalar de un vector se expresa por el cual es veces la longitud del vector . Cuando el múltiplo escalar tiene la misma dirección que , si , entonces el múltiplo escalar tiene dirección opuesta. Cuando , se afirma que es el vector cero al cual se le puede asignar cualquier dirección.

Ejercicio 1.1:

Realice la representación de posición de cada vector:

a) b) c) d)

e) f) g) h)

Determine el módulo (longitud o norma) y dirección (en grados y radianes) de los vectores siguientes, con estos datos determine la representación de posición de dichos vectores en un plano:

c)

d)

Los puntos y , representan los vértices de un triángulo en un plano:

Realizar la gráfica del triángulo.

Determinar la longitud de los lados del triángulo.

Comprobar que es un triángulo rectángulo.

Calcular el área del triángulo.

Dados los componentes de un vector determine los que hacen falta y se indican.

La magnitud de un vector es , si su dirección es , determine las componentes y del vector.

Las componentes de un vector son , y , determine la dirección y magnitud de dicho vector.

La dirección de un vector es de , y su componente , determine la componente y la magnitud del vector.

Un vector tiene las coordenadas , determine la magnitud y dirección del vector.

1.2) OPERACIONES CON VECTORES Y SUS PROPIEDADES.

Para el estudio de las operaciones mediante vectores, considérese dos vectores de posición NO PARALELOS y con el punto inicial común, estos formarían dos lados de un paralelogramo (Regla del Paralelogramo), como se muestra en la figura siguiente. Geométricamente se puede afirmar, que el vector que está en la diagonal principal , representa la suma de ambos vectores (lados del paralelogramo), la cual se escribe como:

SUMA GEOMÉTRICA DE VECTORES

Cuando los vectores son aplicados en Física, Ingeniería o Ciencias y representan fuerzas, la resultante del paralelogramo se le denomina fuerza resultante.

Para interpretar la resta de vectores se inicia comprendiendo que la resta de dos vectores y se interpreta como la suma de un vector con el negativo del vector , es decir:

RESTA GEOMÉTRICA DE VECTORES

Realizando la resta de fuerzas para obtener la fuerza resultante se tiene:

Ejercicio 1.2:

Realice la suma o resta geométrica de vectores indicada, así como la magnitud y dirección del vector resultante de cada par de vectores, según se indica:

1)

2)

3)

4)

TAREA 1.2:

Realice la suma o resta geométrica de vectores indicada (utilice papel cuadricula o milimétrico), así como la magnitud y dirección del vector resultante de cada par de vectores, según se indica:

1)

2)

3)

4)

5)

ARITMÉTICA DE COMPONENTES DE UN VECTOR.

Después de analizar la suma y resta geométrica de un vector, así como de comprender

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