Área de una función y el eje de abscisas

Área de una función y el eje de abscisas

1. La función es positiva

Si la función es positiva en un intervalo [a, b] entonces la gráfica de la función está por encima del eje de abscisas. El área de la función viene dada por:

Para hallar el área seguiremos los siguientes pasos:

1º Se calculan los puntos de corte con con el eje OX, haciendo f(x) = 0 y resolviendo la ecuación.

2º El área es igual a la integral definida de la función que tiene como límites de integración los puntos de corte.

Ejemplos

1. Calcular el área del recinto limitado por la curva y = 4x − x2 y el eje OX.

En primer lugar hallamos los puntos de corte con el eje OX para representar la curva y conocer los límites de integración.

En segudo lugar se calcula la integral:

2. Hallar el área de la región del plano encerrada por la curva y = ln x entre el punto de corte con el eje OX y el punto de abscisa x = e.

En primer lugar calculamos el punto de corte con el eje de abscisas.

2. La función es negativa

Si la función es negativa en un intervalo [a, b] entonces la gráfica de la función está por debajo del eje de abscisas. El área de la función viene dada por un viene dada por:

Ejemplos

1. Calcular el área del recinto limitado por la curva y = x2 − 4x y el eje OX.

2. Hallar el área limitada por la curva y = cos x y el eje Ox entre π/2 y 3π/2.

3. La función toma valores positivos y negativos

En ese caso el el recinto tiene zonas por encima y por debajo del eje de abscisas. Para calcular el área de la función seguiremos los siguientes pasos:

1º Se calculan los puntos de corte con con el eje OX, haciendo f(x) = 0 y resolviendo la ecuación.

2º Se ordenan de menor a mayor las raíces, que serán los límites de integración.

3º El área es igual a la suma de las integrales definidas en valor absoluto de cada intervalo.

Ejemplos

1. Calcular el área de las regiones del plano limitada por la curva f(x) = x3 − 6x2 + 8x y el eje OX.

El área, por razones de simetría, se puede escribir:

2. Calcular el área del círculo de radio r.

Partimos de la ecuación de la circunferencia x² + y² = r².

El área del círculo es cuatro veces el área del primer cuadrante.

Calculamos la integral indefinida por cambio de variable.

Hallamos los nuevos límites de integración.

Área comprendida entre dos funciones

El área comprendida entre dos funciones es igual al área de la función que está situada por encima menos el área de la función que está situada por debajo.

Ejemplos

1. Calcular el área limitada por la curva y = x2 − 5x + 6 y la recta y = 2x.

En primer lugar hallamos los puntos de corte de las dos funciones para conocer los límites de integración.

De x = 1 a x = 6, la recta queda por encima de la parábola.

2.Calcular el área limitada por la parábola y2 = 4x y la recta y = x.

De x = o a x = 4, la parábola queda por encima de la recta.

3.Calcular el área limitada por las gráficas de las funciones 3y =x2 e y = −x2 + 4x.

En primer lugar representamos las parábolas a partir del vértice y los puntos de corte con los ejes.

Hallamos también los puntos de corte de las funciones, que nos darán los límites de integración.

4. Calcula el área de la figura plana limitada por las parábolas y= x2− 2x, y = −x2 + 4x.

Representamos las parábolas a partir del vértice y los puntos de corte con los ejes.

5.Hallar el área de de la región limitada por las funciones:

y = sen x, y = cos x, x = 0.

En primer lugar hallamos el punto de intersección de las funciones:

La gráfica del coseno queda por encima de la gráfica del seno en el intervalo de integración.

Volumen de una función

El volumen del cuerpo de revolución engendrado al girar la curva f(x) alrededor del eje OX y limitado por x = a y x = b, viene dado por:

Ejemplos

1. Hallar el volumen engendrado por las superficies limitadas por las curvas y las rectas dadas al girar en torno al eje OX:

y = sen xx = 0x = π

2. Calcular el volumen del cilindro engendrado por el rectángulo limitado por las rectas y = 2, x = 1 y x = 4, y el eje OX al girar alrededor de este eje.

3. Calcular el volumen de la esfera de radio r.

Partimos de la ecuación de la circunferencia x² + y² = r².

Girando un semicírculo en torno al eje de abscisas se obtiene una esfera.

4. Calcular el volumen engendrado por la rotación del área limitada por la parábola y2/8 = x y la recta x = 2, alrededor del eje OY.

Como gira alrededor del eje OY, aplicamos:

El volumen será la diferencia del engendrado por la recta y el engendrado por la parábola entre los extremos y = −4 e y = 4.

Como la parábola es simétrica con respecto al eje OX, el volumen es igual a dos veces el volumen engendrado entre y = 0 e y = 4.

5. Hallar el volumen del elipsoide engendrado por la elipse 16x2 + 25y2 = 400, al girar:

1 Alrededor de su eje mayor.

2 Alrededor de su eje menor.

Como la elipse es simétrica al respecto de los dos ejes el volumen es el doble del engendrado por la porción de elipse del primer cuadrante en ambos casos.

6. Calcular el volumen engendrado al girar alrededor del eje OX el recinto limitado por las gráficas de y = 2x −x2, y = −x + 2.

Puntos de intersección entre la parábola y la recta:

La parábola está por encima de la recta en el intervalo de integración.

Longitud del arco

La longitud del arco, de la curva f(x), comprendido entre las abscisas x = a y x = b viene dado por la integral definida:

Ejemplo

Hallar la longitud del arco de curva en el intervalo [0, 1].

Aplicaciones de la integral. Áreas

• Problemas

• Soluciones

Ejercicios aplicaciones de la integral. Áreas

1. Hallar el área limitada por la recta x + y = 10, el eje OX y las ordenadas de x = 2 y x = 8.

2. Calcular el área del recinto limitado por la curva y = 9 − x2 y el eje OX.

3.Calcular el área del triángulo de vértices A(3, 0), B(6, 3), C(8, 0).

4. Calcular el área limitada por las gráficas de las funciones y2 = 4x e y = x2.

5. Calcular el área limitada por la curva xy = 36, el eje OX y las rectas: x = 6, x = 12.

6.Calcular el área limitada por la curva y = 2(1 − x2) y la recta y = −1.

7. Calcular el área del recinto limitado por la parábola y = x2 + 2 y la recta que pasa por los puntos (−1, 0) y (1, 4).

8. Hallar el área limitada por la recta , el eje de abscisas y las ordenadas correspondientes a x = 0 y x = 4.

9.Calcular el área limitada por la curva y = 6x2 − 3x3 y el eje de abscisas.

10. Hallar el área de la región del plano limitada por las curvas y = ln x, y = 2 y los ejes coordenados.

11. Calcular el área de la región del plano limitada por el círculo x2 + y2= 9.

12. Hallar el área de una elipse

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