Enseñar matemática en nivel inicial y primer ciclo de la EGB - capítulo 5

Capítulo 5: Aproximaciones parciales a la complejidad del sistema de numeración: avances de un estudio acerca de las interpretaciones numéricas.

• ¿Cuáles son los criterios que atraviesan el trabajo numérico en el Primer Ciclo de la educación Primaria?

Son tres los criterios que atraviesan el trabajo numérico en el Nivel Inicial y el primer ciclo de la EGB:

• Los niños aprenden los números de uno en uno y respetando el orden de la serie numérica. Para aprender un número determinado, se tiene que conocer la serie que lo antecede.
• El conocimiento del valor posicional de cada cifra en términos de “unos”, “dieces”, etc. se constituye en el principal acceso válido para el aprendizaje de los números. Por lo tanto, se parte de la enseñanza de la base diez -utilizando varios recursos- y la consecuente identificación de las agrupaciones resultantes.
• Los errores que los niños cometen al leer o escribir los números se adjudican a una ausencia de conocimientos.

• ¿Cuál es el principio didáctico fundamental que se sostiene en la investigación de las autoras, en cuanto a la enseñanza del número?

El proyecto de enseñanza sostiene un principio didáctico fundamental que guía la enseñanza del sistema de numeración y que puede ser expresado así: “del uso a la conceptualización”. Usar la numeración escrita significa proponer situaciones donde los alumnos tengan que producir e interpretar escrituras numéricas, así como compararlas, ordenarlas y operar con ellas para resolver diferentes problemas. De esta manera, los alumnos detectan regularidades que permiten un uso más efectivo del sistema y avanzan a través de aproximaciones sucesivas hacia la comprensión del principio posicional que rige el sistema.

• Para cada criterio (mencionados en el primer punto), realizar una síntesis de los puntos discutidos por las autoras.[pic 1]

Las investigaciones realizadas sobre este criterio permiten señalar que los niños:

• Construyen diferentes criterios que les permiten comparar números aun desconociendo su denominación convencional.
• Conocen la escritura convencional de las potencias de base y luego, apoyándose en ese conocimiento, la de los nudos o números redondos.
• Utilizan este conocimiento de los nudos y las relaciones que van estableciendo con la numeración hablada para intentar escribir números cuya notación convencional desconocen.
• Los niños utilizan sus conocimientos sobre la numeración hablada para apoyarse en sus interpretaciones de las escrituras numéricas y viceversa.

Nuevos datos pueden aportarse sobre las relaciones que los niños ponen de manifiesto en la numeración escrita y hablada y cómo estas les permiten avanzar en la lectura de los números:

• Saber el nombre de los dígitos ayuda a leer un número de dos cifras: Los niños, al intentar leer números cuyo nombre desconocen, pueden basarse en el nombre de la cifra para leer la decena correspondiente. Esto pone de manifiesto que los alumnos descubren que los nombres de las decenas y de las cifras tienen algo que ver entre sí y ese conocimiento los ayuda a saber como comienza el nombre de un numero o su escritura. Llegar a establecer esta relación permite a los niños leer números que antes no sabían.
• Los nudos ayudan a interpretar los números escritos: Los niños conocen la escritura convencional de los nudos antes que la escritura de los números pertenecientes a los intervalos entre ellos. Este conocimiento de los nudos sirve a los niños como apoyatura en sus producciones e interpretaciones numéricas de los números que aún no saben escribir y leer convencionalmente. Los niños vinculan cada nudo con el resto de la decena, además de mostrar que consideran que a una parte común de las notaciones de ciertos números corresponderá una parte también común de sus denominaciones orales. El conocimiento del nombre convencional de un nudo no constituye una condición previa para que los niños establezcan esta relación con los números que quieren interpretar.
• Si el nombre de dos números comienza igual, su escritura también: Otra idea que los niños construyen es “si el nombre de dos números diferentes comienza de manera similar, su escritura comienza con la misma cifra” y viceversa, si comienzan con la misma cifra entonces se van a escribir de manera similar. Progresivamente, y a partir del manejo de diferentes decenas, los chicos establecen regularidades del tipo “todos los veinte empiezan con 2”, “todos los cincuenta comienzan con cinco”. Esta relación se torna observable para los alumnos a partir del trabajo con diferentes rangos de decenas; además de que dicha relación no se establece siguiendo el orden de la serie.

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Uno de los supuestos que sostiene la enseñanza usual del sistema de numeración parte de considerar que conocer los números equivale a conocer su organización en unidades, decenas, centenas, etc., por lo cual tal organización es introducida explícitamente en la enseñanza desde el momento en que hace su aparición el número diez.

Las nuevas relaciones que los niños establecen al ubicar los números en una grilla de control son:

• Cada fila corresponde a una decena. Muchos alumnos mencionan la organización en categorías de números o porciones de la serie identificados por sus nudos: “acá están los veinte”.
• En cada decena se repite el orden de las unidades. Algunos niños explicitan que, en los números de dos cifras, se repite la misma secuencia del 1 al 9 en el lugar de las unidades. Algunos niños reconocen también que luego del 9 cambia la decena.
• El orden de las decenas sigue el orden de las cifras. Vinculan, así, el orden de las decenas con el orden de las cifras.
• Después del 9 en las unidades cambia la decena por una más. Algunos alumnos articulan las regularidades anteriores explicitando el modo de producción de los números.

Algunos alumnos hacen además referencia a la regularidad de las columnas. Este procedimiento de buscar en la grilla siguiendo la columna de las unidades supone que los alumnos saben que se encontrarán con el número buscado en ese recorrido. Es necesario plantear situaciones para instalar una reflexión sobre las razones que subyacen en las regularidadesdescubiertas.

¿Qué relaciones podemos encontrar entre los conocimientos numéricos que presentamos tanto en este apartado como en los anteriores y el trabajo escolar sobre agrupamientos?

Por un lado, los conocimientos que los niños construyen acerca del sistema de numeración no refieren a su organización en agrupamientos de base diez. Son conocimientos construidos a partir de sus interacciones con la numeración escrita como tal, al usar los números en diversas situaciones y reflexionar sobre ellos.

A partir de las participaciones en situaciones de uso de la numeración escrita los niños detectan regularidades; el descubrimiento de estas regularidades constituye un paso necesario para que sea posible plantearse los problemas que conducen a reconstruir el principio posicional que rige el sistema.

En cambio, partir de la explicación del valor posicional en términos de agrupamientos de base diez supone el intento de presentar la “versión acabada” de la organización del sistema de numeración, que no permite explicar las operaciones multiplicativas subyacentes en tales agrupamientos.

Además, los niños tienen dificultades respecto de la comprensión respecto de la comprensión de las unidades, decenas y centenas que se les enseñan. Esto significa que el abordaje usual de la numeración escrita no solo es infructuoso, sino que también podría obstaculizar la comprensión del funcionamiento de los números y las operaciones.

Todo lo antes expuesto es lo que lleva a proponer una progresión que avanza desde el uso a la reflexión y la búsqueda de regularidades, dirigiéndose hacia la comprensión de las operaciones aritméticas que subyacen nuestro sistema.

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A diferencia de la enseñanza usual, se considera que los errores no denotan falta de conocimiento, sino un estado particular del conocimiento, en el camino hacia la apropiación progresiva del sistema de numeración.

Lo que interesa es preguntarnos qué deben saber los niños para equivocarse de una manera determinada. Para ello, es necesario analizar los errores que aparecen de forma recurrente entre los alumnos.

• Sustituciones de decenas.

• Sustituciones de decenas al leer un número: algunos niños leen ciertos números de dos cifras respetando la de las unidades, pero cambiando la denominación de la cifra correspondiente a las decenas por el nombre de otra decena. Estas sustituciones pueden ser explicadas a partir de que los niños construyen una clase de palabras que sirven para nombrar números de dos cifras y a la que pertenecen “treinti…”, “cincuenti…”. Estas palabras son intercambiables (provisoriamente) porque, aunque los niños han establecido ya una relación entre la numeración hablada y escrita y reconocen esas denominaciones como correspondientes a los números de dos cifras, aunque no saben aún exactamente cuál es la denominación que corresponde.
• Sustituciones de decenas al anticipar la composición de un número “cantado”: En este error los niños dan nombres de cifras tanto para las unidades como para las decenas, pero sustituyen sólo la cifra correspondiente a las decenas y dicen correctamente la de las unidades. Estas interpretaciones de los números que son “cantados”, tratando de pensar cómo se componen podrían ser anticipaciones de la escritura numérica correspondiente, porque la duda acerca de la cifra correspondiente a las decenas podría estar orientada a que el número de las unidades va con otro. Esta idea indica que los alumnos ya saben que deben escribir una cifra más, aunque no saben cuál corresponde.

• Inversiones.

• Inversiones numéricas al “cantar” los números: estos errores incluyen interpretaciones tales como “cuarenta y dos” para 24. En principio, los alumnos producen inversiones sí están teniendo en cuenta que el nombre del número interpretado pertenece a una categoría particular, la de las decenas: ya saben clases de palabras para nombrar números de dos cifras. En el caso de las decenas, al no conocer el nombre de la decena correspondiente, los niños utilizan otro nombre de dicha categoría, respetando en su interpretación el orden correspondiente a las unidades. Los niños que producen inversiones al leer no están teniendo en cuenta el orden convencional: no asignan el nombre de cualquier decena sino la correspondiente a la cifra de las unidades.

• Inversiones numéricas al marcar números: Son inversiones que realizan los niños al localizar los números en cartones o castillo numérico. Puede ser que reconozcan las cifras correspondientes a la denominación oral pero aún no tomen en cuenta el papel de la posición; sin embargo, esta localización aparentemente equivocada también puede deberse al deseo de ganar.

Aún desconociendo cuál es la designación oral que corresponde a cada escritura, no aceptan que las mismas cifras, pero invertidas, estén representando al mismo número.

Un aspecto para resaltar en el caso de los niños que comenten inversiones es que no siempre son los que “menos saben” en los grupos. Realizar una inversión supone saber muchas cosas acerca de los números.

• Otros errores.

• Confusión entre 60 y 70: Frecuentemente, los niños confunden el 60 con el 70. Esta confusión se produce en ambas direcciones y tanto al momento de leer los números como de ubicarlos en algún tipo de grilla numérica. Este error está basado en la similitud sonora entre las denominaciones de ambas decenas. Muchos niños, cuando recitan la serie de nudos de las decenas (10 20,30, 40…), al llegar al 60, pasan directamente al 80, como creyendo que nombrando el 70 se repitiera el mismo número. Será la confrontación con las escrituras numéricas y un análisis del modo como se vinculan con la denominación de las cifras correspondientes los que los llevarán a poder diferenciarlos.

• Señalar un número que coincida en una cifra: Los niños marcan en la grilla numérica un número que coincide en una cifra con el cantado sin tener en cuenta la posición.

• Señalar un número de una cifra en otro de dos cifras que lo contiene: este tipo de error se produce cuando se canta un número de una cifra y los niños lo señalan en otro de dos cifras un número de una cifra y los niños lo señalan en otro de dos cifras que lo contiene, ya sea en el lugar de las unidades o en el de las decenas.

Estos dos últimos dos tipos de errores aparecen con muy poca frecuencia y en ciertos alumnos, los menos avanzados. Los nombres de los números que se reconocen son los de las unidades o los nombres de alguna de las cifras. Aún así, estos niños están poniendo en juego conocimientos sobre la escritura numérica: en todos estos casos podrían estar señalando la cifra que han identificado en el nombre o en la escritura más allá de que crean o no que todo el número se escribe o se denomina de ese modo.

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