Teoría de conjuntos. Georg Cantor

Universidad Nacional de Chimborazo

Coordinación de Admisión y Nivelación

Economía

COM. “C”

Matemáticas

Investigación Formativa

Cristian Pacheco

Ing. José Alvarado

6 de julio 2025

Objetivos

1. Analizar el contenido de la Teoría de Conjuntos, específicamente la definición, notación, diagrama de Venn y tipos de conjuntos, a través de la investigación y consulta académica, entendiendo claramente los temas tratados en clase.
2. Examinar la información acerca de los Números Reales, concretamente su clasificación, también la definición, componentes y clasificación de Monomios y Polinomios, mediante la indagación en libros y documentos académicos, comprendiendo adecuadamente la temática impartida en clase.
3. Investigar acerca del tema de Ecuaciones, precisamente su definición, clasificación y métodos resolución, por medio de la investigación académica, discerniendo claramente los temas recibidos en clase.
4. Indagar acerca de la temática de Ecuaciones de segundo grado, propiamente su definición, tipos y métodos de resolución, a través de la búsqueda y exploración en documentos y libros académicos, fortaleciendo el aprendizaje del contenido dado en clase.

Teoría de Conjuntos

Introducción

"En matemáticas el arte de proponer una pregunta debe tener mayor valor que resolverla"

Georg Cantor

Georg Cantor fue uno de los matemáticos más distinguidos de su tiempo, propuso su más revolucionaria aportación siendo esta la Teoría de Conjuntos, fue creada entre 1874-1895, lo trabajó de manera individual, siendo la base para la matemática moderna, la unificó y abrió paso al entendimiento de nuevas teorías. Es interesante recalcar que el aporte de Cantor movió los cimientos de la matemática tradicional, provocó duda a la manera de pensar en los matemáticos de la época y levantó controversia con el planteo de sus teorías, marcó un antes y un después en el pensamiento matemático.

Definición

Es una cantidad determinada de objetos con sus propias características y esencia. A estos objetos se los llama elementos del conjunto que pueden ser objetos físicos, ideas, términos matemáticos, etc. También podemos decir que un conjunto es una colección de elementos con rasgos en común.

Notación

Para lograr identificar de manera exacta algún objeto u objetos es necesario hacerlo a través de un nombre, por lo que en matemática para nombrar o representar un conjunto de elementos se usa siempre una letra mayúscula cursiva, por ejemplo, A y B, cada letra mayúscula representará un conjunto. También es importante mencionar que siempre existirá un conjunto general en el cual se agrupe a todos los elementos existentes, este se llamará conjunto universo que será representada con la letra U (mayúscula y cursiva), estas denotaciones permiten la fácil diferenciación con otros términos matemáticos.

Para una mejor comprensión plantearé un ejemplo, A = {2,4,6,8,10,12} y B = {1,3,5,7,9}, se presenta dos conjuntos de números, y cada uno tiene su característica en común, el conjunto A esta conformado por números pares, y el conjunto B contiene números impares, estos rasgos los separan en conjuntos aparte, además existe una característica en común entre A y B, son números naturales, este los une en un conjunto general que vendría a ser el conjunto universo, representándolo como U = {Números Naturales}.

Además de mostrar cómo se escribe los conjuntos también los expresé de dos formas, en el conjunto A y B con los elementos (números), y el universo (U) con una propiedad o característica (Naturales). Esto se debe a que existe dos maneras de representar a los conjuntos, por Extensión o por Comprensión.

Determinación por Extensión

Se refiere a enlistar o enumerar los elementos del conjunto uno a uno, por ejemplo, sea el conjunto:

 C = {5,10,15,20}, estoy enumerando la tabla del 5.

D = {Marco, Mario, Marcelo, Martín…}, estoy enlistando nombres de persona.

Determinación por Comprensión

Se refiere a enunciar una cualidad, característica o requisito que debe poseer los elementos del conjunto respectivo, por ejemplo, tomando los conjuntos anteriores, su representación por Comprensión será:

C = {x | x ∈ ℕ, x es múltiplo de 5 ≤ 20}, estoy describiendo los requisitos del conjunto, en este caso me dice que el conjunto debe contener los múltiplos de 5 menores o igual que 20.

D = {x | x es nombre de hombre que empiece con la letra M}, estoy describiendo los elementos que deben encontrarse dentro del conjunto.

Es importante señalar que las dos formas siempre se escriben entre llaves {}.

Diagrama de Venn

Lleva ese nombre en honor al matemático Jhon Venn. Es un esquema que se utiliza en la Teoría de conjuntos que permite representar los elementos de manera más ordenada y visual. Este diagrama está formado por círculos los cuales contiene los elementos que corresponden a cierto conjunto.

Ejemplo: Sean los conjuntos A = {f, g, h, i, j} y B = {x | x es vocal del abecedario}. 

Figura 1

Representación de los conjuntos A y B por medio del Diagrama de Veen.[pic 1]

Nota. El diagrama representa los dos conjuntos de manera visual, además se encuentra el universo

representado por el rectángulo azul, encerrando a todas las letras del abecedario. Elaboración propia.

Tabla 1

Ejemplos de descripción de conjuntos.

Nota. Ejemplos tomados de Universidad Nacional Autónoma de México. (s.f.). Unidad 1: Conjuntos. https://virtual.cuautitlan.unam.mx/bookalge/pdfs/Unidad1_Conjuntos.pdf

Clasificación de Conjuntos

Los conjuntos se clasifican según sus propias características.

Universal

También llamado referencial, este contiene todos los elementos existentes de un área determinada, es la base con la cual se trabaja. Ejemplo:[pic 2]

A = {a, e, i, o, u}[pic 3]

B = {b, c, d, f, g}

U = {letras del abecedario}[pic 4]

[pic 5]

Conjunto Finito

Es un conjunto que tiene fin, es decir, que se puede contar todos los elementos que se encuentran dentro del conjunto. Ejemplo: A = {a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k, l, m, n, ñ, o, p, q, r, s, t, u, v, w, x, y, z}[pic 6]

[pic 7]

                   Nota. Se puede contar de inicio a fin y se puede

                  saber exactamente cuántos elementos existen,

                  en este caso sería 27 letras del abecedario. Elaboración Propia.

Conjunto Infinito

Es un conjunto que no tiene fin, es decir, que es imposible contar todos los elementos que se encuentran dentro del conjunto. Ejemplo:

B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25…}[pic 8]

[pic 9]

Nota. Los números son infinitos. Elaboración Propia.

Conjunto Unitario

Es un conjunto formado por un solo elemento.

C = {x | x es satélite del planeta tierra}[pic 10]

[pic 11]

Nota. El único satélite natural que tiene el planeta

tierra es la Luna. Elaboración Propia.

Conjunto vacío

Es un conjunto que no tiene elementos, es decir, no hay elementos existentes. Ejemplo: [pic 12]

[pic 13]

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