Teoria De Conjunto

Teoría de conjunto

La teoría de conjuntos más elemental es una de las herramientas básicas del lenguaje matemático. Dados unos elementos, unos objetos matemáticos como números o polígonos por ejemplo, puede imaginarse una colección determinada de estos objetos, un conjunto. Cada uno de estos elementos pertenece al conjunto, y esta noción de pertenencia es la relación relativa a conjuntos más básica. Los propios conjuntos pueden imaginarse a su vez como elementos de otros conjuntos. La pertenencia de un elemento a un conjunto A se indica como a ∈ A.

Una relación entre conjuntos derivada de la relación de pertenencia es la relación de inclusión. Una sub-colección de elementos B de un conjunto dado A es un subconjunto de A, y se indica como B ⊆ A.

Ejemplos.

• Los conjuntos numéricos usuales en matemáticas son: el conjunto de los números naturales N, el de los números enteros Z, el de los números racionales Q, el de los números reales R y el de los números complejos C. Cada uno es subconjunto del siguiente:

Formas de determinar un conjunto

Los conjuntos se determinan de dos formas:

a) Por Extensión.- Llamado también por modo explícito, enumerativo o de forma tabular, donde cada elemento del conjunto es nombrado individualmente.

Ej.:

P= {Tierra, Marte, Neptuno, Júpiter}

Q= {Juan, Iván, Jorge}

R= {Rebeca, Mercedes, Victoria}

b) Por Comprensión.- Llamado también modo implícito, descriptivo o de forma constructiva, es cuando los elementos que forman el conjunto, enuncian una propiedad que los caracteriza a todos.

Ej.:

P= {x/x es un planeta}

Se lee El conjunto P formado por los elementos x tal que x es un planeta

Q= {x/x es un elemento químico}

Se lee El conjunto Q formado por los elementos x tal que x es un elemento químico.

Definición de conjunto, subconjuntos y conjunto universal

Conjunto: Un conjunto es una colección bien definida de objetos, entendiendo que dichos objetos pueden ser cualquier cosa: números, personas, letras, otros conjuntos, etc. Algunos ejemplos son:

A es el conjunto de los números naturales menores que 5.

B es el conjunto de los colores verde, blanco y rojo.

C es el conjunto de las letras a, e, i, o y u.

D es el conjunto de los palos de la baraja francesa.

Los conjuntos se denotan habitualmente por letras mayúsculas. Los objetos que componen el conjunto se llaman elementos o miembros. Se dice que «pertenecen» al conjunto y se denota mediante el símbolo ∈:[n 1] la expresión a ∈ A se lee entonces como «a está en A», «a pertenece a A», «A contiene a a», etc. Para la noción contraria se usa el símbolo ∉. Por ejemplo:

3 ∈ A, ♠ ∈ D

Amarillo ∉ B, z ∉ C

Subconjuntos: Un conjunto A es un subconjunto del conjunto B si cada elemento de A es a su vez un elemento de B.

Cuando A es un subconjunto de B, se denota como A ⊆ B y se dice que «A está contenido en B». También puede escribirse B ⊇ A, y decirse que B es un superconjunto de A y también «B contiene a A» o «B incluye a A».

Todo conjunto A es un subconjunto de sí mismo, ya que siempre se cumple que «cada elemento de A es a su vez un elemento de A». Es habitual establecer una distinción más fina mediante el concepto de subconjunto propio: A es un subconjunto propio de B si es un subconjunto de B pero no es igual a B. Se denota como A ⊊ B, es decir: A ⊆ B pero A ≠ B (y equivalentemente, para un superconjunto propio, B ⊋ A).

Ejemplos.

El «conjunto de todos los hombres» es un subconjunto propio del «conjunto de todas las personas».

{1, 3} ⊊ {1, 2, 3, 4}

{1, 2, 3, 4} ⊆ {1, 2, 3, 4}

Conjunto universal: es un conjunto formado por todos los objetos de estudio en un contexto dado. Por ejemplo, en aritmética los objetos de estudio son los números naturales, por lo que el conjunto universal para este caso puede ser el conjunto de los números naturales N. Al conjunto universal también se le denomina conjunto referencial, universo del discurso o clase universal, según el contexto, y se denota habitualmente por U o V.

La elección de un conjunto universal se hace por conveniencia, para establecer una distinción clara entre los objetos matemáticos, todos ellos en el conjunto universal; y los conjuntos formados por dichos objetos, todos ellos subconjuntos del conjunto universal. Escogido un conjunto universal, para cada conjunto de objetos existe su complementario, que contiene todos los elementos que no están en dicho conjunto.

En teoría de conjuntos, los objetos matemáticos estudiados incluyen a los propios conjuntos. El conjunto universal abarcaría entonces no sólo objetos simples como números, sino también conjuntos de números, conjuntos de conjuntos de números, etc. Sin embargo, en este caso suponer la existencia de un conjunto universal lleva una contradicción conocida como la paradoja de Russell.

Algebra de conjuntos (elementos de la teoría de conjuntos)

Un conjunto es una colección de objetos donde es posible, cuando se requiere, determinar sin ambigüedad si cualquier objeto dado es un miembro o no de la colección

Cuando una lista completa de los miembros de un conjunto es dada, se acostumbra escribirlos dentro de llaves, separados por comas. Por ejemplo, un conjunto que contiene las cuatro letras a, b, c, d puede ser escrito como {a, b, c, d}. Como se está hablando solamente de los objetos del conjunto, no hay razón para que los miembros tengan que ser escritos en un orden particular. Por ejemplo, los conjuntos {a, b, c, d}, {d, b, a, c}, {d, c, a, b} representan la misma colección y en consecuencia el mismo conjunto. Es decir, que el orden en que se listan los miembros de un conjunto es irrelevante. Tampoco hay utilidad alguna en repetir un mismo elemento, así solamente se listan los elementos distintos en un conjunto. Por ejemplo, el conjunto {a, a, b, b, b, b, c} es igual al conjunto {a, b, c}.

Se acostumbra denotar los conjuntos por letras mayúsculas y los elementos de estos conjuntos por letras minúsculas. Si x está en el conjunto A se escribirá:

x ∈ A

y significa “x es un elemento del conjunto A”.

Si x no está en A, se escribirá:

x ∉ A

y significa “x no es un elemento del conjunto A”.

Operaciones con conjunto

A continuación se considera como los conjuntos pueden ser combinados para producir nuevos conjuntos. Existen tres operaciones principales: Conjunto intersección, conjunto unión y conjunto diferencia.

 Intersección de conjuntos: La intersección de dos conjuntos A y B, se escribe A∩B, es el conjunto de elementos que son comunes en A y B, es decir:

A∩ B = {x / x∈ A y x∈ B}

La notación AB, también se usa en lugar de A∩B.

Ejemplo:

a. Si A = {a, b, c, d} y B = {a, d, c, f , p} entonces AB = {a, c, d}

b. Si A es el conjunto de las personas que usan corbata y B es el conjunto de las personas que usan saco, entonces AB es el conjunto de las personas que usan saco y corbata.

c. Sea, A = {(x, y) / x, y ∈R , x ≥ 3} y B = {(x, y) / x, y ∈R, y ≥ -1}

Entonces:

A∩B = {(x, y) / x, y ∈R, x ≥ 3 y y ≥ −1}

 Unión de conjuntos: Si A y B son dos conjuntos, entonces A∪B es llamada la unión de A y B, y es el conjunto de elementos que están en A o en B (o en ambos), es decir,

A∪ B = {x / x∈ A ó x∈ B}

 Así, cuando se dice “o A o B” se usa con el sentido de “o A o B o ambos”.

Ejemplo:

a. Si A = {a, b, c, d} y B = {a, d, c, f, p} entonces A∪ B = {a, b, c, d, f , p}

b. Si A es el conjunto de personas que visten con corbata, y B es el conjunto de personas que visten con saco, entonces A∪B es el conjunto de personas que visten con saco o corbata (o ambos).

c. Sea, A = {(x, y) / x, y ∈ R, x ≥ 3} y B = {(x, y) / x, y ∈ R, y ≥ −1}. Entonces,

A∪B = {(x, y) / x, y ∈ R, x ≥ 3 ó y ≥ −1}

Así, (4,2), (2, −1 2), (5,2) son todos miembros de A∪B. Sin embargo,

(2,-3) ∉ A∪ B.

 Conjunto de diferencias: Supóngase que A y B son dos conjuntos. Entonces el conjunto diferencia A–B es el conjunto cuyos elementos están en A pero no en B. Así, se tiene que: A − B = {x / x ∈ A y x ∉ B} obsérvese que B − A = { x / x ∈ B y x ∉ A }. En general, A–B ≠ B–A.

Diagrama de Venn: son ilustraciones usadas en la rama de la Matemática y Lógica de clases conocida como teoría de conjuntos. Estos diagramas se usan para mostrar gráficamente la agrupación de cosas elementos en conjuntos, representando cada conjunto mediante un círculo o un óvalo. La posición relativa en el plano de tales círculos muestra la relación entre los conjuntos. Por ejemplo, si los círculos de los conjuntos A y B se solapan, se muestra un área común a ambos conjuntos que contiene todos los elementos contenidos a la vez en A y en B. Si el círculo del conjunto A aparece dentro del círculo de otro B, es que todos los elementos de A también están contenidos en B.

Conjuntos disjuntos: dos conjuntos son disjuntos si no tienen ningún elemento en común. Equivalentemente, dos conjuntos son disjuntos si su intersección es vacía. Por ejemplo, {1, 2, 3} y {4, 5, 6} son conjuntos disjuntos

A veces, dos conjuntos no tienen ningún elemento en común, esto es, la intersección

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