Teoria De Conjuntos

TEORIA DE CONJUNTOS

Definiciones:

1.- Conjunto: es una lista, clase o colección de objetos bien definidos, objetos que, pueden ser cualesquiera: números, personas, letras, etc. Estos objetos se llaman elementos o miembros del conjunto.

Ejemplos: { 1, 3, 7, 10}

{xx2 -3x –2= 0}

{ Inglaterra, Francia, Dinamarca}

2.-Subconjunto: A es subconjunto de B si todo elemento de A lo es también de B.

Notación: AB  x A xB

Ejemplo:

El conjunto C = {1,3,5} es un subconjunto del D = {5,4,3,2,1} ya que todo elemento de C pertenece al conjunto D.

3.- Conjunto Universal: es aquel conjunto que no puede ser considerado un subconjunto de otro conjunto, excepto de si mismo. Todo conjunto se debe considerar un subconjunto del Conjunto Universal.

Notación: U

Ejemplo:

A = {1,3,5} B = {2,4,6,8}

U = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}

5.- Conjunto Vacío: es aquel que no posee elementos y es subconjunto de cualquier otro conjunto.

Notación:  = { x / x  x }

Ejemplo:

B= {x/x2 = 4, x es impar}. B es entonces un conjunto vacío.

6.-Diagrama de Venn: Los diagramas de venn permiten visualizar gráficamente las nociones conjuntistas y se representan mediante círculos inscritos en un rectángulo. Los círculos corresponden a los conjuntos dados y el rectángulo al conjunto universal.

Ejemplo:

A  B

7.-Conjuntos Finitos o Infinitos: Los conjuntos serán finitos o infinitos, si sus elementos son o no factibles de contar.

Ejemplo:

M= {a,e,i,o,u}, M es finito.

N={1,3,5,7...}, N es infinito.

8.- Conjuntos disjuntos: Dos conjuntos son disjuntos si no tienen elementos comunes.

Gráficamente:

Ejemplo:

A= {1,3,8}, B={2,4,9}; A y B son conjuntos disjuntos.

OPERACIONES CON CONJUNTOS

1.-Unión de conjuntos: La unión de dos conjuntos A y B es un conjunto cuyos elementos pertenecen a A o a B.

Notación: AB= {x/xA xB}

Gráficamente:

Ejemplo

A={3,4,5,8,9} B={5,7,8,9,10}

AB={3,4,5,7,8,9,10}

2.- Intersección de conjuntos: La intersección de dos conjuntos A y B, es un conjuntos cuyos elementos son comunes a A y B.

Notación: A  B= {x / x  A  x  B}

Gráficamente:

Ejemplo:

A={7,8,9,10,11,12} B={5,6,9,11,13,14}

A  B={9, 11}

3.-Complemento: El complemento de un conjunto A, son todos los elementos que no están en el conjunto A

y que están en el universo.

Notación: Ac = {x / x U  x A}

Ac = U - A

Gráficamente:

Ejemplo:

U= {1,2,3,...10} y A={ 3,4,6,7}

Ac= {1,2,5,8,9,10}

4.- Diferencia de conjuntos: La diferencia de dos conjuntos A y B, es un conjunto cuyos elementos son aquellos que están en el conjunto A, pero no en el conjunto B.

Notación: A - B ={x / x A  x  B}

Gráficamente:

Ejemplo:

C = {u, v, x, y, z} D = {s, t, z, v, p, q}

C - D = {x, y, u}

LEYES DE ALGEBRA DE CONJUNTO

1.- Asociatividad:

C C)

(AC = AC)

2.- Conmutatividad:



AB = BA

3.- Distributividad:

ACC)

AC) = (C)

7.-Complemento:

AcU Ac = 

(Ac)c = A U’= , ’ = U

8.- Ley de Morgan:

(AB)c = Acc (Ac = Acc

A – B = Ac

OPERACIONES CON CONJUNTOS

En aritmética se suma, resta y multiplica, es decir, a cada par de números x e y se le asigna un número x + y llamado suma de x e y, un número x - y llamado diferencia de x e y y un número xy llamado producto de x e y. Estas asignaciones se llaman operaciones de adición, sustracción y multi¬plicación de números. En este capítulo se van a definir las operaciones de unión, intersección y diferencia de conjuntos, es decir, se van a asignar o a hacer corresponder nuevos conjuntos a pares de conjuntos A y B. En un capítulo posterior se vera que estas operaciones entre conjuntos se comportan de manera un tanto semejante a la de las anteriores operaciones con números.

UNIÓN

La unión de los conjuntos A y B es el conjunto de todos los elementos que pertenecen a A o a B o a ambos. Se denota la unión de A y B por

A U B

que se lee «A unión B».

Ejemplo 1-1: En el diagrama de Venn de la Figura 2-1, A  B aparece rayado, o sea el área de A y el área de B

A  B lo rayado

Fig. 2-1

Ejemplo 1-2: Sean S = {a, b, c, d} y T = {f, b, d, g}. Entonces

S  T = {a, b, c, d, f, g}

Ejemplo 1-3: Sean P el conjunto de los números reales positivos y Q el conjunto de los números reales ne¬gativos. P  Q, unión de P y Q, consiste en todos los números reales exceptuado el cero.

La unión A y B se puede definir también concisamente así:

A  B = {x | x  A o x  B}

Observación 2-1: Se sigue inmediatamente de la definición de la unión de dos conjuntos que A  B y B  A son el mismo conjunto, esto es:

A  B = B  A

Observación 2-2: A y B son ambos subconjuntos de A  B es decir, que:

A  (A  B) y B  (A  B)

En algunos libros la unión de A y B se denota por A + B y se la llama suma conjuntista de A y B o simplemente A más B

LA INTERSECCIÓN

La intersección de los conjuntos A y B es el conjunto de los elementos que son comunes a A y B, esto es, de aquellos elementos que pertenecen a A y que también pertenecen a B. Se denota la intersec¬ción de A y B por

A  B

que se lee «A intersección B».

Ejemplo 2-1: En el diagrama de Venn de la Fig. 2-2 se ha rayado A  B, el área común a ambos con¬juntos A y B.

A  B lo rayado

Fig. 2-2

Ejemplo 2-2: Sean S = {a, b, c, d} y T = {f, b, d, g}. Entonces

S  T = {b, d}

Ejemplo 2-3: Sea V = {2, 4, 6,. . .}, es decir, los múltiplos de 2; y sea W = {3, 6, 9, . . .}, o sean los múl¬tiplos de 3. Entonces

V  W = {6, 12, 18,...}

La intersección de A y B también se puede definir concisamente así:

A  B = {x | x  A, x  B}

Aquí la coma tiene el significado de «y».

Observación 2-3: Se sigue inmediatamente de la definición de intersección de dos conjuntos que

A  B = B  A

Observación 2-4: Cada uno de los conjuntos A y B contiene al A  B como subconjunto, es decir,

(A  B)  A y (A  B)  B

Observación 2-5: Si dos conjuntos A y B no tienen elementos comunes, es decir, si A y B son disjun¬tos, entonces la intersección de A y B es el conjunto vacío, o sea A  B = .

En algunos libros, sobre todo de probabilidades, la intersección de A y B se denota por AB y se llama producto conjuntista de A y B o simplemente A por B.

DIFERENCIA

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