Teoria De Conjuntos

QUE ES TEORÍA DE CONJUNTOS

La teoría de conjuntos es una rama de las matemáticas que estudia las propiedades y relaciones de los conjuntos: colecciones abstractas de objetos, consideradas como objetos en sí mismas. Los conjuntos y sus operaciones más elementales son una herramienta básica en la formulación de cualquier teoría matemática 1

Sin embargo, la teoría de los conjuntos es lo suficientemente rica como para construir el resto de objetos y estructuras de interés en matemáticas: números, funciones, figuras, y junto con la lógica permite estudiar los fundamentos de aquélla. En la actualidad se acepta que el conjunto de axiomas de la teoría de Zermelo-Fraenkel es suficiente para desarrollar toda la matemática.

Además, la propia teoría de conjuntos es objeto de estudio,  no sólo como herramienta auxiliar. En esta disciplina es habitual que se presenten casos de propiedades indemostrables o contradictorias, como la hipótesis del continuo o la existencia de un cardinal. Por esta razón, sus razonamientos y técnicas se apoyan en gran medida en la lógica.

El desarrollo histórico de la teoría de conjuntos se atribuye a Georg Cantor, que comenzó a investigar cuestiones conjuntistas «puras» del infinito en la segunda mitad del siglo XIX, precedido por algunas ideas de Bernhard Bolzano e influenciado por Richard Dedekind. El descubrimiento de las paradojas de la teoría cantoriana, de conjuntos, formalizada porGottlob Frege, propició los trabajos de Bertrand Russell, Ernst Zermelo, Abraham Fraenkely otros a principios del siglo XX.

QUIEN LO FUNDO

George Cantor (1845-1918) fue quien prácticamente formuló de manera individual la teoría de conjuntos a finales del siglo XIX y principios del XX. Su objetivo era el de formalizar las matemáticas como ya se había hecho con el cálculo cien años antes. Cantor comenzó esta tarea por medio del análisis de las bases de las matemáticas y explicó todo basándose en los conjuntos (por ejemplo, la definición de función se hace estrictamente por medio de conjuntos). Este monumental trabajo logró unificar a las matemáticas y permitió la comprensión de nuevos conceptos.

El problema apareció cuando se comenzaron a encontrar paradojas en esta teoría, siendo la más célebre la paradoja de Russell, y más tarde varios matemáticos encontraron más paradojas, incluyendo al mismo Cantor. Russell descubrió su paradoja en 1901, y la publicó en un apéndice de su libro "Principios de las matemáticas".

Cuando los matemáticos supieron de esta paradoja, muchos se preguntaron si las matemáticas en realidad eran consistentes, y sobre todo verdaderas, ya que cualquier suposición matemática podía basarse en una teoría inconsistente.

La primera propuesta para solucionar el problema de las paradojas provino de un matemático holandés llamado Brouwer, quien propuso una redefinición radical de todas las matemáticas y prometió una solución al conflicto. El programa de Brouwer se basaba en lo más simple de la intuición: el aceptaba los conceptos que son aparentes a la intuición general. Esta filosofía rechazaba muchos principios fundamentales de las matemáticas, pero en cambio, solucionaba satisfactoriamente el problema de las paradojas. Particularmente Brouwer rechazaba el principio del medio excluido, el cuál decía que los elementos de un conjunto o bien tienen una propiedad A o no la tienen, lo cuál sería la negación de la propiedad A. A esta corriente de pensamiento se le llamó intuicionismo.

DE QUE SE TRATA

2. La teoría de conjuntos como fundamento de la matemática ´ Por una parte, la teoría de conjuntos es una teoría matemática entre otras teorías matemáticas, con un objeto de estudio propio y con métodos propios, con relaciones más o menos profundas con otras teorías matemáticas. Por otra parte, sin embargo, la teoría de conjuntos es una teoría matemática peculiar, en cuanto la mayor parte del resto de la matemática, en particular, todas las teorías matemáticas tradicionales, son interpretables en ella. Que una teoría T sea interpretable en la teoría de conjuntos significa que es posible tratar los objetos de que T se ocupa como conjuntos, y los conceptos, las operaciones y las relaciones que le son propias como conceptos de conjuntos, operaciones con conjuntos y relaciones entre conjuntos, y ello de modo tal que a cada una de las proposiciones expresables en el lenguaje de T se le asocia de manera sistemática una proposición conjuntista y que las proposiciones conjuntistas asociadas a los teoremas de T son teoremas de la teoría de conjuntos. Brevemente, interpretar una teoría matemática en la teoría de conjuntos equivale a reformularla como un fragmento de la teoría de conjuntos. La interpretación de la matemática en la teoría de conjuntos tiene por lo menos dos consecuencias importantes, una de posible uso filosófico y otra con efectos en la investigación matemática no conjuntista. La primera es que es posible desplazar la discusión de problemas ontológicos de las diversas teorías matemáticas a la teoría de conjuntos. El caso de los números reales es un ejemplo paradigmático: los problemas filosóficos acerca de la existencia de los números reales pueden retrotraerse a la existencia de suficientes conjuntos de números racionales. La segunda consecuencia es que la interoperabilidad de una teoría matemática T en la teoría de conjuntos permite mostrar que ciertos problemas abiertos en T son insolubles, pues si la traducción conjuntista de una proposición expresable en el lenguaje de T es independiente de los principios básicos de la teoría de conjuntos, es decir, no es demostrable ni refutable a partir de ellos, entonces la proposición en cuestión tampoco es demostrable ni refutable en T. Esta consecuencia es importante a causa del gran desarrollo de los métodos de demostración de independencia en teoría de conjuntos. Es habitual referirse al hecho de que buena parte de la matemática es interpretable, o reducible, como también se dice, a la teoría de conjuntos, hablando de esta teoría como de un fundamento de la matemática. Podemos hacerlo si no damos a este término un significado más fuerte. Hablar de fundamento en esta situación no supone que la teoría de conjuntos confiera a las teorías interpretables en ella ningún carácter especial de solidez, de seguridad frente a la contradicción, o de evidencia (de hecho, en ciertos casos, como la teoría de números es obvio lo contrario). Lo ´único que significa es que puede tomarse como base, que es posible en principio reelaborar el resto de la matemática en términos de conjuntos y a partir de principios sobre existencia, estructura

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