Teoria De Conjuntos
Enviado por MarjoseO • 25 de Octubre de 2014 • 1.171 Palabras (5 Páginas) • 213 Visitas
Introducción
El trabajo que presentamos en este artículo forma parte del proyecto: “¿Qué matemática
vive hoy en las aulas de EGB3? Una aproximación a la complejidad del aula”.
El tema conjuntos numéricos constituye una parte importante de los contenidos
por aprender en los primeros años de la escuela media1 y con frecuencia
se asume que su aprendizaje puede considerarse como concluido después de
los dos o tres primeros años de este nivel.
Sin embargo, en los alumnos puede detectarse —incluso varios años después—
que muchas de las dificultades a las que se enfrentaron durante su estudio,
debido en particular a la complejidad del propio conocimiento, no siempre han
podido ser superadas.
Los conocimientos iniciales son necesariamente provisorios, incompletos e
incluso erróneos, por tanto, su tratamiento posterior es ineludible.
Nos referimos, por ejemplo, a la confusión entre número y representación
—en particular entre número decimal y representación decimal de un número—,
a la falta de discusión sobre la naturaleza de los números, a la falta de relación
entre los conjuntos numéricos, a la ausencia de identificación del conjunto de
referencia en el cual se desarrolla la actividad matemática, etcétera.
El artículo está organizado en tres apartados: “Acerca de la construcción de
los conjuntos numéricos”; “Análisis de la tarea de pertenencia de un número
a un conjunto” y “Problematización del contenido Conjuntos numéricos”.
Acerca de la construcción de los conjuntos numéricos
Los conocimientos que se poseen hoy sobre los números reales y sobre los
conjuntos numéricos incluidos en este último son la consecuencia de un largo,
1 La escuela media comprende a los alumnos de 12 a 17 años.
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Educación Matem ática, vol. 23, núm. 1, abril de 2011 125
Irma Elena Saiz, Edith Gorostegui y Diego Vilotta
paciente y laborioso trabajo de matemáticos de muy distintas civilizaciones. A lo
largo de más de 20 siglos se fueron construyendo muy lentamente conceptos
que hoy día pretendemos con frecuencia que los jóvenes alumnos aprendan en
un poco más de un cuatrimestre escolar. Basta citar los números naturales, que
tan “naturalmente” aparecen desde el principio de la escolaridad y cuya formalización
como conjunto numérico, sin embargo, fue la última en lograrse con la
axiomatización realizada por Peano a fines del siglo xix, incluso después de
la de los números complejos y negativos.
A partir de su invención para resolver problemas prácticos, los matemáticos
lograron, apenas 2 500 años después de su aparición, una definición de número
y de conjunto numérico, basada totalmente en fundamentos lógicos, evitando la
intuición y rechazando los recursos a la percepción.
Siguiendo la exposición de González, Iriarte y otros (1990)2 en el siglo xix es
cuando la matemática dio un formidable salto hacia su liberación de lo concreto.
Tal como lo señalaba Hermann Hankel (1987)3 en su libro Teoría del sistema
de los números complejos, publicado en 1867: “La condición para construir una
aritmética universal es, por tanto, la de una matemática puramente intelectual,
separada de todo tipo de percepciones sensibles”.
“Al igual que otros matemáticos de su época estaba convencido de que las
matemáticas son una creación humana y, en consecuencia, sus conceptos no
se deducen de hechos empíricos ni vienen impuestos desde afuera, sino que
son construcciones intelectuales y, como tales, no han sido descubiertas sino
inventadas”.4
Hankel no buscó la justificación de la existencia de los números en situaciones
reales que “expliquen” su comportamiento, sino en las leyes formales, concretamente,
en el “principio de permanencia” que había sido introducido por George
Peacock algunos años antes, a fin de fundamentar el álgebra y justificar las
operaciones con expresiones literales.
El principio de permanencia afirma que todas las reglas que se verifican al
operar con los números naturales —conmutativa y asociativa de la multiplicación
y de la suma y distributiva de la multiplicación respecto de la suma— siguen verificándose
para todos los demás números u objetos representados por las letras.
Así, la importancia del significado de los símbolos quedó relegada a un segundo
2 González, Iriarte y otros (1990), Números enteros, Editorial Síntesis, p. 48.
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