Teoria De Conjuntos

TEORÍA DE CONJUNTOS

CONCEPTOS BÁSICOS

ANTECEDENTES DE IDEA INTUITIVA DE CONJUNTO

La teoría de conjuntos es un sistema matemático y lenguaje específico para la resolución y el manejo de ciertos problemas; el cual consiste en un conjunto de conceptos básicos definiciones y ciertas operaciones.

Mediante las operaciones entre conjuntos podemos cambiar elementos de una situación dada con el fin de identificar sus alternativas de acción y separar lo fundamental de lo irrelevante, teniendo una mayor eficacia en la toma de decisiones y resolución de problemas.

ANTECEDENTES E IDEA INTUITIVA DE CONJUNTO

Aunque se desarrolló después de las ideas matemáticas básicas, la teoría de conjuntos ha modificado el lenguaje matemático dentro de todas las ramas de las matemáticas usan estos conceptos. Dicha teoría fue desarrollada por George Cantos, en el desarrollo disciplinario y George Boole en la idea algebraica.

IDEA INTUITIVA DE CONJUNTO

La noción de conjunto es suficientemente simple para darse de manera intuitiva sin necesidad de referirla al conceptos básicos; la idea de la palabra conjunto se intuye de manera básica partir de la experiencia del concepto de la vida diaria.

De esta manera se entiende como una colección de objetos o entes de cualquier índole los cuales cuentan o no con una relación entre ellos, también se puede hablar de conjuntos en los que no existe una relación definida explícitamente para los elementos que lo integra.

REQUISITOS ESENCIALES

Los requisitos para la existencia de un conjunto son:

Colección de objetos definida: la pertenencia a un conjunto o grupo de elementos debe ser clara

Ningún objeto del conjunto debe ser contado más de una vez: todos los elementos deben de ser distintos entre sí.

El orden en que se enumeren carece de importancia. con excepción de los arreglos y las permutaciones

NOTACIONES DE CONJUNTOS

Para nombrar a los conjuntos se utilizan letras mayúsculas; aclarando el significado de dicha letra; por ejemplo:

A = {conjunto de números naturales}

El signo de igual se entiende como “es el”, las llaves significan “es el conjunto formado por los”.

Así mismo se deben enlistar los elementos, con letras minúsculas es decir.

A = {a, b, c}

RELACIONES DE PERTENECÍA

La relación de pertenecía se define como la relación que existe entre un conjunto y sus elementos. La cual se simboliza con el símbolo de épsilon del alfabeto griego. Es decir que si a pertenece a A se expresa de la siguiente manera.

a Є A

Así mismo para expresar la no pertenencia un conjunto se expresa como:

k A

CONJUNTOS ESPECIALES UNIVERSAL Y VACÍO

CONJUNTO UNIVERSAL

Este se denota por la letra omega Ω; dicho conjunto consta de todos los elementos a los que se pueda referir esa situación; con dos circunstancias que se deben mencionar:

No es único; depende del problema que se esté considerando y cambia dependiendo de la situación que se requiera.

Aun par el mismo problema no está definido de forma única y se puede elegir a nuestra conveniencia con relativa libertad.

Esto se entiende por ejemplo al normar al conjunto universal de los números naturales se entiende que este ubica todos los elementos que cuente con dichas características; o al expresar en otro escenario a el conjunto universal de los pacientes de un hospital dicho conjunto incluirá el total de los mismos.

CONJUNTO VACÍO

Este conjunto aunque parezca un poco contradictorio se define como el uno que no pose elementos este se denomina como un conjunto vacío o nulo y se simboliza por φ o por {}.

Por ejemplo el conjunto dado por los seres humanos con actualmente vivos con más de 20 años, o el conjunto por paciente que hayan fallecido más de una vez.

De esta manera los símbolos quedarían ejemplificados de la siguiente manera:

NUMERO DE ELEMENTOS DE UN CONJUNTO

Por cada conjunto A indicamos con el símbolo n(A) al número de elementos de ese conjunto por ejemplo:

A= {a, b, c } ; n(A) = n {a,b,c } = 3

RELACIONES ENTRE CONJUNTOS

IGUALDAD Y DESIGUALDAD

Solo se expresa esta si los elementos de un conjunto son idénticos a los de otro y se expres a de la siguiente manera:

A = A SI Y SOLO SI

PARA TODO a∈A →a ∈B, Y

PARA TODO b ∈B →b ∈A

INCLUSIÓN DE SUBCONJUNTO

De la misma manera se puede expresar la pertenecía de conjuntos con elementos de un conjunto mayor es decir la existencia de subconjuntos.

Sean los conjuntos A={ 0, 1, 2, 3, 5, 8 } y B={ 1, 2, 5 }

En este caso decimos que B esta contenido en A, o que B es subconjunto de A. En general si A y B son dos conjuntos cualesquiera, decimos que B es un subconjunto de A si todo elemento de B lo es de A también.

Por lo tanto si

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