LÓGICA PROPOSICIONAL. NOCIONES FUNDAMENTALES

LÓGICA PROPOSICIONAL

1. Presentación
2. Nociones fundamentales
3. Introducción
4. Cálculo proposicional
5. Resumen
6. Ejercicios resueltos
7. Bibliografía
8. Taller de  lógica  proposicional

Presentación

Un propósito a lograr en el área de matemática, es que los estudiantes aprendan a razonar matemáticamente.

Tal propósito no se lograría, si es que no pasa del mundo de las opiniones empíricas al mundo del pensamiento formal.

Pero, un pensamiento sistemático, auténtico y coherente no puede surgir sin la base de un método crítico correcto.

En este sentido, el conocimiento de la lógica (ciencia que se ocupa del estudio de los métodos y principios para distinguir el buen razonamiento del malo), se hace indispensable.

UNIDAD 01

NOCIONES FUNDAMENTALES

Objetivos

• Identificar el lenguaje simbólico de las proposiciones.
•  Conocer los usos propios de cada símbolo
• Usar correctamente los conectivos lógicos para simbolizar las proposiciones compuestas que se indican
• Traducir al lenguaje simbólico razonamientos expresados en lenguaje ordinario

Introducción

En nuestro quehacer diario constantemente hacemos, deducciones.

Esto significa, que cada conclusión que obtenemos se deduce de algo.

Este algo o punto de partida se llama premisa.

Por ejemplo si exponemos un trozo de hielo al calor, se concluye que el hielo se derrite, o cuando un campesino ve una densa nube en el cielo, deduce que va a llover, o también de "todos los mamíferos son vertebrados" se puede concluir en "algunos mamíferos son vertebrados".

Este proceso de pasar de un conjunto de premisas a la conclusión se llama inferencia o deducción.

[pic 1]

Cuando la conclusión se deduce correctamente del conjunto de premisas se dice que la inferencia es válida, en caso contrario la inferencia no es válida.

Sabemos que la conclusión se deriva correctamente de sus premisas porque hay un conjunto de leyes lógicas que garantizan dicha corrección.

Justamente la lógica estudia el modo de usar estas leyes, con las cuales podemos saber si una inferencia es válida o no.

De ahí que, la lógica es una ciencia que estudia los métodos y las leyes que determinan la validez de la inferencia.

Así como existe una teoría para realizar cálculos con números (la aritmética) o con objetos más complejos como diferencial e integral, también existen reglas precisas para manejar proposiciones.

Esto último corresponde al estudio de la lógica proposicional.

1. Enunciado

[pic 3][pic 2]

Algunos enunciados indican expresiones imperativas, exclamativas, interrogativas,  otros en cambio, pueden ser verdaderos o falsos.

Ejemplo 1. Son enunciados:

• ¿Qué hora es?
• ¡Arriba Peru!
• 2 + 5 = 7
• La cordillera del Cóndor es peruano
• 2x + 3 = 5

1. Proposición

[pic 5][pic 4]

Ejemplos 2: Las siguientes afirmaciones son proposiciones:

• Huancayo es nombre de una ciudad de la Región Junín.
• Messi nació en Argentina
• 1 + 1 = 3
• 1 + 6 = 7
• El cuadrado de todo número par también es par.

Las proposiciones pueden ser simples (o atómicas)  y compuestas, cuando esta compuesta por varias proposiciones simples.

Ejemplos 3: Las dos primeras afirmaciones son proposiciones simples y los restantes, compuestas

• El triángulo es un polígono
• 1 + 7 = 5
• Si Juan va al cine, entonces tiene dinero
• Un triángulo es equiángulo si, y solo si es equilátero
• Marcos en ingeniero o Beatriz es profesora

1. Enunciado abierto

[pic 7][pic 6]

Ejemplo. Son enunciados abiertos:

[pic 8]

Los enunciados que usan las palabras “él”, “ella” son enunciados abiertos

A los enunciados abiertos que contienen variables algebraicas se les denomina función proposicional, que tienen la propiedad de convertirse en proposiciones, al sustituirse   la variable por una constante específica.

Ejemplo:

El enunciado abierto

x2 + 1 = 5

Es una función proposicional, el cual se convierte en proposición cuando:

1. Para x = -3 (por ejemplo), se convierte en la proposición

(-3)2 + 1 = 5……………………… (F)

el cual tiene valor de verdad Falsa

1. Para x = 2, entonces, será la proposición

(2)2 + 1 = 5  ……………………… (V)

el cual tiene valor de verdad Verdadera

1. Notación 

Usaremos las letras minúsculas p, q, r,… para  simbolizar las proposiciones. Las proposiciones se pueden combinar para obtener proposiciones compuestas utilizando conectivos lógicos que veremos a continuación:

[pic 9]

[pic 10]

Actividades

1. Sean p, q y r las proposiciones siguientes:

p: “está lloviendo”

q: “el sol esta brillando”

r: “hay nubes en el cielo”

Traduciremos las siguientes oraciones a notación simbólica utilizando las letras asignadas y los conectivos lógicos:

1. Sean p, q y r del ejercicio 1. Traducir las siguientes proposiciones simbólicas a oraciones en español:

[pic 11]

1. Selecciona un artículo de periódico o de una revista: identifica, proposiciones simples, conjunciones, disyunciones e implicaciones.
2. Construye funciones proposicionales.

[pic 12]

La proposición: “si está lloviendo, entonces hay nubes en el cielo”  se simboliza: [pic 13]

Ejercicio: Simbolice y redacte la recíproca, inversa y contrarecíproca

1. Negación de proposiciones

1. Negación de una conjunción:

[pic 15][pic 14]

Ejemplo

        La negación de

                                Está lloviendo y el sol está brillando

        es

                                No está lloviendo o el sol no está brillando

Es decir, la negación de una conjunción [pic 16]es la disyunción [pic 17]

Observe que la última proposición es diferente a [pic 18]la cual corresponde, en nuestro ejemplo, a No está lloviendo y el sol no está brillando. Que usualmente se dice: ni está lloviendo ni el sol está brillando

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