Formulación original de Schrödinger-De Broglie

Formulación original de Schrödinger-De Broglie[editar]

En 1923 De Broglie propuso la llamada hipótesis de De Broglie por la que a cualquier partícula podía asignársele un paquete de ondas materiales o superposición de ondas de frecuencia y longitud de onda asociada con el momento lineal y la energía:

\mathbf{p} = \frac{h}{\lambda} = \hbar \mathbf{k} \qquad E_k = h\nu = \hbar \omega

donde \mathbf{p},\ E_k son el momento lineal y la energía cinética de la partícula, y \mathbf{k},\omega son el vector número de onda y la frecuencia angular. Cuando se consideran partículas macroscópicas muy localizadas el paquete de ondas se restringe casi por completo a la región del espacio ocupada por la partícula y, en ese caso, la velocidad de movimiento de la partícula no coincide con la velocidad de fase de la onda sino con la velocidad de grupo del paquete:

v_g = \frac{\partial \omega}{\partial k} = \frac{\partial E_k}{\partial p} = \frac{\partial E_k(p)}{\partial p} = \frac{p}{m}

donde E_k(p) = P^2/2m. Si en lugar de las expresiones clásicas del momento lineal y la energía se usan las expresiones relativistas, lo cual da una descripción más precisa para partículas rápidas, un cálculo algo más largo, basado en la velocidad de grupo, lleva a la misma conclusión.

La fórmula de De Broglie encontró confirmación experimental en 1927 un experimento que probó que la ley de Bragg, inicialmente formulada para rayos X y radiación de alta frecuencia, era también válida para electrones lentos si se usaba como longitud de onda la longitud postulada por De Broglie. Esos hechos llevaron a los físicos a tratar de formular una ecuación de ondas cuántica que en el límite clásico macroscópico se redujera a las ecuaciones de movimiento clásicas o leyes de Newton. Dicha ecuación ondulatoria había sido formulada por Erwin Schrödinger en 1925 y es la celebrada Ecuación de Schrödinger:

-{\hbar^2\over 2m} \nabla^2 \psi (\mathbf{x},t) + V(\mathbf{x})\psi (\mathbf{x},t) = i \hbar {\partial \psi (\mathbf{x},t)\over\partial t}

donde \psi(\mathbf{x},t)\, se interpretó originalmente como un campo físico o campo de materia que por razones históricas se llamó función de onda y fue el precedente histórico del moderno concepto de función de onda.

El concepto actual de función de onda es causa de debate en la Física actual, sobre todo en lo que respecta la realidad objetiva e intrínseca de dicha función de onda. Matemáticamente, la implicación de el cuadrado de la función de onda es la amplitud de la probabilidad de presencia de materia. Esta interpretación, introducida por Max Born, le valió la concesión del premio Nobel de física en 1954.

Formulación moderna de Von Neumann[editar]

Los vectores en un espacio vectorial se expresan generalmente con respecto a una base (un conjunto concreto de vectores que "expanden" el espacio, a partir de los cuales se puede construir cualquier vector en ese espacio mediante una combinación lineal). Si esta base se indexa con un conjunto discreto (finito, contable), la representación vectorial es una "columna" de números. Cuando un vector de estado mecanocuántico se representa frente a una base continua, se llama función de ondas.

Formalización[editar]

La formalización rigurosa de la función de onda requiere considerar espacios de Hilbert equipados, donde puedan construirse bases más generales. Así para cualquier operador autoadjunto, al teorema de descomposición espectral, permite construir el equivalente de una base vectorial dependiente de un índice continuo (infinito, incontable). Por ejemplo, si se considera el operador de posición \hat{\mathbf{X}}, que es autoadjunto sobre un dominio denso en el espacio de Hilbert convencional \mathcal{H} \approx L^2(\R^n), entonces se pueden construir estados especiales:

| \mathbf{x} \rangle \notin \mathcal{H} \qquad

\hat{\mathbf{X}}| \mathbf{x} \rangle = \mathbf{x}| \mathbf{x} \rangle \in \mathcal{H}_e \qquad \mathcal{H} \subset \mathcal{H}_e

Pertenecientes a un espacio equipado de Hilbert \mathcal{H}_e, tal que la función de onda puede ser interpretada como las "componentes" del vector de estado del sistema respecto a una base incontable formada por dichos vectores:

| \psi \rangle = \int_{-\infty}^{\infty} \psi(\mathbf{x})

| \mathbf{x} \rangle\,d\mathbf{x}, \qquad

\qquad \psi(\mathbf{x}) = \langle \mathbf{x} | \psi \rangle

Nótese que aunque los estados propios | \mathbf{x} \rangle del operador posición \hat{\mathbf{X}} no son normalizables, ya que en general no pertenecen al espacio de Hilbert convencional del sistema (sino sólo al espacio equipado), el conjunto de funciones de onda sí definen estados en el espacio de Hilbert. Eso sucede porque los estados propios satisfacen:

| \mathbf{x} \rangle, | \mathbf{x}' \rangle \in \mathcal{H}_e \qquad

\langle \mathbf{x} | \mathbf{x}' \rangle = \delta(\mathbf{x}-\mathbf{x}')

Puesto que las funciones de onda así definidas, que son de cuadrado integrable, sí forman un espacio de Hilbert isomorfo y homeomorfo al original, el cuadrado del módulo de la función de onda puede ser interpretado como la densidad de probabilidad de presencia de las partículas en una determinada región del espacio.

Un tratamiento análogo al anterior usando vectores propios del operador momento lineal \hat{\mathbf{P}} también pertenecientes a un espacio equipado de Hilbert permiten definir las "funciones de onda" sobre el espacio de momentos. El conjunto de estos estados cuánticos propios del operador momento son llamados en física "base de espacio-k" (en contraposición a la función de onda obtenida a partir del operador posición que se llama "base de espacio-r"). Por la relación de conmutación entre los operadores posición y momento, las funciones de onda en espacio-r y en espacio-k son pares de transformadas de Fourier.

\tilde\psi(\mathbf{p}) = \frac{1}{(2\pi\hbar)^{3/2}} \int_{\R^3} \psi(\mathbf{x}) e^{- i\mathbf{p}\cdot\mathbf{x}/\hbar}\,d\mathbf{x}

El nombre espacio-k proviene de que \mathbf{p} = \hbar\mathbf{k}, mientras que el nombre espacio-r proviene del hecho de que las coordenadas espaciales con frecuencia se designan mediante el vector \mathbf{r}

Problemas de nomenclatura[editar]

Por la relación concreta entre la función de onda y la localización de una partícula en un espacio de posiciones, muchos textos sobre mecánica cuántica tienen un enfoque "ondulatorio". Así, aunque el término función de onda se use como sinónimo "coloquial" para vector de estado, no es recomendable, ya que no sólo existen sistemas que no pueden ser representados por funciones de onda, sino que además el término función de onda lleva a imaginar que hay algún medio que está ondulando en sentido mecánico

...