FUNCIONES INVERSAS

CAPÍTULO I: INTRODUCCIÓN:

ANTECEDENTES HISTÓRICOS.

El origen del concepto de función ha estado siempre unido al estudio de los fenómenos de cambio. Las referencias más antiguas se encuentran en algunos escritos de astrónomos babilonios. En la Edad Media el estudio de funciones aparece ligado al concepto de movimiento siendo uno de los estudiosos de este concepto Nicolás de Oresme (1323-1392), el cual representó en unos ejes coordenados gráficos relacionados con el cambio de la velocidad respecto del tiempo.

Tres siglos más tarde Galileo estudió el movimiento desde el punto de vista cuantitativo justificándolo experimentalmente y estableciendo leyes entre magnitudes.

Desde Galileo, el concepto de función fue evolucionando hasta que, en el siglo XIX, en 1837, Dirichlet dio la definición de función como relación entre variables, que es la definición que actualmente conocemos

Las funciones son una herramienta fundamental en la física, la biología, las ciencias sociales, etc.

ENUNCIADO DEL PROBLEMA.

Hallar en los distintos tipos de problemas las funciones inversas.

OBJETIVOS GENERALES Y ESPECÍFICOS.

OBJETIVOS GENERALES:

Reconocer gráficamente una función

Hallar gráficamente y analíticamente el dominio y recorrido de una función inversa.

Utilizar la gráfica de una función para saber si tiene inversa.

Hallar analíticamente la inversa de algunas funciones sencillas.

Hallar la tabla de valores de la función inversa a partir de una gráfica, cuando las funciones son más complejas.

OBJETIVOS ESPECÍFICOS:

Identificar si dos funciones f y g son funciones inversas.

Dada la función f en cualquier representación, conseguir f-1.

Dada la función f en cualquier representación, determinar si f-1 existe. Es decir si f es 1:1

HIPÓTESIS.

La aplicación de cada de los procedimientos para el desarrollo de ejercicios de funciones inversas son de suma importancia para obtener un resultado óptimo.

JUSTIFICACIÓN E IMPORTANCIA.

En la vida diaria encontramos situaciones en las que aparecen valores que varían dependiendo de una regla fija. Una función se define como un par de

variables, una dependiente de la otra, que cumplen una regla establecida para todo tipo de funciones, ya sean las funciones vistas en clases como también las funciones inversas. Tenemos por ejemplo el caso de una cuenta de electricidad o también en arriendos de servicios dados en un determinado lugar.

CAPÍTULO II: MARCO TEÓRICO:

DEFINICIÓN:

Consideremos que la función: f= {(x, f(x))/x ∊ Df } con dominio Df y rango Rf entonces diremos que existe la función inversa de f, si y solo sí, f es inyectiva.

También se las conoce como funciones uno a uno, ya que ocurre que las ordenadas de puntos distintos son siempre diferente.

A la función inversa de f denotaremos por f* o f-1, la cual es definida en la forma siguiente:

f* = {f(x), x)/x € Df }

Dónde: Df* = Rf y Rf* = Df

Ejemplo: Consideremos a una función inyectiva f= [(1,3), (2,5), (4,7), (6,9), (8,11), entonces la función inversa de f es:

f* = (3,1), (5,2), (7,4), (9,6), (11,8), donde el Df* = [3,5,7,9,11] = Rf y Rf* = [1,2,4,6,8] = Df .

GRÁFICO DE LA FUNCION INVERSA:

Consideremos a una función y su inversa f*, el gráfico de la función inversa f* es simétrica a la función f con respecto a la función identidad I(x)=x por tal motivo dicho gráfico se obtiene por reflexión con respecto a la recta I(x)=x.

PROPIEDAD FUNDAMENTAL DE LAS FUNCIONES INVERSAS:

Si f: A⟶B es una función inyectiva y f*: B⟶A, es la función inversa de f entonces:

f*(f(x))=x, ⩝x ∊ Df

f(f*(x))=x, ⩝x ∊ Df*

CÁLCULO DE LA FUNCION INVERSA:

Sea f: A⟶B, una función inyectiva, entonces a la función inversa f*: B⟶A se puede hallar resolviendo la ecuación f(f*(x))=x ⌵ f*(f(x))=x.

Ejemplo:

Hallar la inversa de la función f(x)= 7x+3

Solución:

f (f*(x))=x ⟹ 7f*(x)+3=x

Por lo tanto f*(x) = (x-3)/7

También la inversa de una función inyectiva se puede obtener de la forma siguiente:

Ejemplo:

Hallar la inversa de la función f(x)=5x-3, si x ∊ [0,5]

Solución:

Como y=f(x) ⟹ 5x-3, x ∊ [0,5]

Primeramente se despeja x: x= y+3/5, x ∊ [0,5]

Luego se determina la variación de y:

x= (y+3)/5∊ [0,5] ⟹0≤(y+3)/5 ≤5 ⟹0≤y+3≤25

-3 ≤ y ≤22 ⟹ y ∊[-3,22]

X= (y+3)/5, x ∊[-3,22]. Ahora permutaremos x por y, es decir:

x= (y+3)/5 ∊[-3,22]. Por lo tanto f*(x) = (y+3)/5, x ∊ [-3,22]

FUNCION INVERSA DE UNA COMPOSICIÓN:

Si dos función f y g son inyectivas y la función composición f o g existe, entonces la función f o g es inyectiva, por lo tanto tiene inversa (f o g)*en este caso tiene la siguiente

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