Sucesiones

Definición

Límite infinito

lim an = +inf <=> para todo K>0 existe N natural / para todo n > N an > K.

Para cualquier número positivo K (tan grande como se quiera), podemos encontrar un natural N, tal que aN y todos los términos siguientes son mayores que K. Esto quiere decir que an puede hacerse mayor que cualquier cota, con tal de que n sea lo suficientemente grande.

Del mismo modo se define lim an = -inf <=> para todo K<0 existe N natural / para todo n > N an < K.

Definición

Convergencia y divergencia

Cuando una sucesión tiene límite finito a se dice que es convergente y converge a a.

Una sucesión que tiene límite infinito se llama divergente.

Una sucesión que carece de límite se llama oscilante.

La sucesión an = 1/n converge a 0.

La sucesión an = n2 es divergente.

La sucesión an = sen n es oscilante, pues sus valores varían entre 1 y -1.

Propiedades del límite finito de sucesiones

Unicidad del límite

Si una sucesión tiene límite es único.

H) lim an = b

T) b es único

Demostración:

La demostración se hace por reducción al absurdo.

Suponemos que an tiene dos límites distintos b y c.

Suponemos que b > c.

lim an = b => (por def. de límite finito de una sucesión) para todo ε>0 existe n1 natural / para todo n > n1 b - ε < an < b + ε;

lim an = c => (por def. de límite finito de una sucesión) para todo ε>0 existe n2 natural / para todo n > n2 c - ε < an < c + ε

Consideremos un ε tal que c+ε < b-ε, o sea ε < (b - c)/2

Sea N = max {n1,n2}

Para todo n > N se cumple

b - ε < an < b + ε

c - ε < an < c + ε

Absurdo, pues an no puede pertenecer a dos entornos disjuntos.

Absurdo de suponer b ≠ c.

Por lo tanto b = c.

Límite de la sucesión comprendida

Si una sucesión está comprendida entre otras dos que tienen igual límite, entonces tiene el mismo límite.

H) lim an = lim bn = p

Para todo n > n0 an <= cn <= bn

T) lim cn = p

Demostración:

lim an = p => (por def. de límite de una sucesión) para todo ε1 > 0 existe n1 natural / para todo n > n1 p - ε1 < an < p + ε1

lim bn = p => (por def. de límite de una sucesión) para todo ε2 > 0 existe n2 natural / para todo n > n2 p - ε2 < bn < p + ε2

Sea N = max {n0, n1, n2}

Para todo n > N se cumple p-ε1 < an <= cn <= bn < p+ε2

p-ε1 < cn < p+ε2

Sea ε = min {ε1, ε2}

Para todo n > N p-ε < cn < p+ε

=> (por def. de límite de una sucesión) lim cn = p.

Operaciones con límites

El límite de la suma, producto y cociente de sucesiones se determina por las mismas reglas que para las funciones de variable continua. Las demostraciones son iguales, basta sustituir f(x) por an y considerar que la tendencia siempre es hacia +infinito. Aquí sólo demostraremos el límite de una suma. Para ver las demás reglas visitar la página sobre operaciones con límites.

Límite de la suma

Si dos sucesiones tienen límite finito, entonces su suma tiene límite finito y es igual a la suma de esos límites.

H) lim an = a, lim bn = b

T) lim an + bn = a + b

Demostración:

Queremos probar que, dado ε > 0, existe N > 0 tal que para todo n > N |(an + bn) - (a+b)| < ε.

Sea ε' = ε/2

lim an = a => (por def. de límite finito de una sucesión) para todo ε' > 0 existe n0 natural / para todo n > n0 |an - a| < ε'.

lim bn = b => (por def. de límite finito de una sucesión) para todo ε' > 0 existe n1 natural / para todo n > n1 |bn - b| < ε'.

Sea N = max {n0, n1}

Para

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