TRCIO EXCLUIDO

as leyes clásicas del pensamiento

El principio del tercero excluido, junto con su complemento, el principio de contradicción, son correlatos de la ley de identidad. Debido a que el principio de identidad intelectualmente divide el universo en exactamente dos partes: el "yo" y el "otro", se crea una dicotomía en la que las dos partes son "mutuamente excluyentes" y "conjuntamente exhaustiva". El principio de contradicción no es más que una expresión de la cara mutuamente excluyente de esa dicotomía, y el principio del tercero excluido es una expresión de su aspecto en conjunto exhaustivo.

Leyes análogas

Algunos sistemas de la lógica, pero tienen diferentes leyes análoga. Para algunas finitos lógicas n-valorados, existe una ley análoga llamada la ley de excluidos n º 1. Si negación es cíclico y "?" es un "operador max", entonces la ley se puede expresar en el idioma por objeto, donde "... ~ ~" representa n-1 señales de negación y "? ...?" n-1 señales disyunción. Es fácil comprobar que la sentencia debe recibir por lo menos uno de los valores de verdad n.

Otros sistemas rechazan la ley por completo.

Ejemplos

Por ejemplo, si P es la proposición:

Sócrates es mortal.

entonces la ley del tercero excluido sostiene que la disyunción lógica:

Cualquiera de Sócrates es mortal, o que no es el caso de que Sócrates es mortal.

Es cierto, en virtud de que su forma. Es decir, la posición "intermedia", que Sócrates no es mortal ni no-mortal, está excluido por la lógica y por lo tanto, ya sea la primera o la posibilidad de su negación debe ser verdad.

Un ejemplo de un argumento que depende de la ley del medio excluido sigue. Tratamos de demostrar que existen dos números irracionales y tal que

es racional.

Se sabe que es irracional. Considere el número

.

Es evidente que este número es racional o irracional. Si es racional, la prueba está completa, y

y.

Pero si es irracional, entonces que

y.

Entonces

,

y 2 es sin duda racional. Esto concluye la prueba.

En el argumento anterior, la afirmación "este número es racional o irracional" invoca la ley del tercero excluido. Un intuicionista, por ejemplo, no aceptar este argumento sin más apoyo a esa declaración. Esto puede venir en forma de una prueba de que el número en cuestión es de hecho irracional, o un algoritmo finito que podría determinar si el número es racional o no.

La Ley de pruebas no constructivas sobre el infinito

La prueba anterior es un ejemplo de una prueba no constructiva anulado por intuicionistas:

La prueba es no constructiva, ya que no da cifras concretas a y b que satisfacen el teorema, pero sólo dos posibilidades distintas, una de las cuales deben trabajar.

Por no constructiva Davis significa que "una prueba de que en realidad son entidades matemáticas que satisfacen ciertas condiciones tendría que proporcionar un método para exponer explícitamente las entidades en cuestión.". Estas pruebas suponen la existencia de una totalidad que es completa, una noción no reconocidos por intuicionistas cuando se extiende al infinito, para ellos el infinito no se puede completar:

En la matemática clásica no producen pruebas de existencia no constructivas o indirecto que intuicionistas no aceptan. Por ejemplo, para demostrar que no existe un n tal que P, el matemático clásica puede deducir una contradicción de la suposición para todo n, no P. En tanto la clásica y la lógica intuicionista, por reducción al absurdo que esto no da para todo n, no P. La lógica clásica permite este resultado a ser transformado en existe un n tal que P, pero no en general, el intuicionista ... el sentido clásico, que en algún lugar de la totalidad infinita completa de los números naturales no se produce un n tal que P, no está disponible para él, ya que no concibe los números naturales como una totalidad completa.

De hecho, Hilbert y Brouwer tanto dan ejemplos de la ley del tercero excluido extendido al infinito. El ejemplo de Hilbert: "la afirmación de que, o bien sólo hay un número finito de números primos o existen infinitos", y Brouwer: ". Cada especie matemática es finito o infinito" .

En general, los intuicionistas permiten el uso de la ley del tercero excluido cuando se limita al discurso sobre las colecciones finitas, pero no cuando se utiliza en el discurso sobre los conjuntos infinitos. Así intuicionistas absolutamente rechazar la afirmación general: "Por cuanto todos proposiciones P relativo a los conjuntos infinitos D: P o ~ P".

Para más información sobre el conflicto entre los intuicionistas y los formalistas ver Fundamentos de la matemática y el intuicionismo.

Supuestos contraejemplos a la ley del tercero excluido incluyen la paradoja del mentiroso o la paradoja de Quine. Ciertas resoluciones de estas paradojas, especialmente dialetheism de Graham Priest, formalizado en LP, tienen la ley del tercero excluido como un teorema, sino resolver el mentiroso como verdadero y falso. De esta manera, la ley del tercero excluido es verdad, sino porque la verdad misma, y por lo tanto la disyunción, no es exclusivo, se dice casi nada si una de las disyunciones es paradójico, o verdadero y falso.

Historia

Aristóteles

Aristóteles escribió que la ambigüedad puede surgir de la utilización de nombres ambiguos, pero no puede existir en los hechos mismos:

Es imposible, entonces, que "ser un hombre" debería significar precisamente "no ser un hombre", si "el hombre" no sólo significa algo sobre un tema, pero también tiene un significado. ... Y no va a ser posible que sea y no sea lo mismo, sino en virtud de una ambigüedad, como si aquel a quien llamamos

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